Umkehrung des Höhensatzes

Die Umkehrung des Höhensatzes lautet:

Wenn für ein Dreieck ABC mit dem
Höhenfußpunkt D auf [AB] die Beziehung
|CD|2 = |AD| · |BD|
gilt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig
mit [AB] als Hypotenuse.

Beweisidee:

Wir betrachten die beiden Teildreiecke des
Dreiecks ABC und stellen fest, dass sie
ähnlich zueinander sind. Aufgrund ihrer
Winkelverhältnisse erkennen wir dann,
dass sich bei C ein Winkel von 90° befindet.


bild66.jpg (7877 Byte)

Aus CD|2 = |AD|·|BD| folgt das Verhältnis:

(1)  |AD|:|CD| = |CD|:|BD|

Außerdem gilt:

(2)  Winkel CDA = Winkel BDC = 90°

Wegen (1) und (2) sind die Teildreiecke
ADC und CDB zueinander ähnlich.

Also gilt:

α = Winkel DAC = Winkel DCB

β = Winkel CBD = Winkel ACD

Wegen der Winkelsumme von 180° in den
Teildreiecken folgt daher α + β = 90°, weshalb
Dreieck ABC bei C ebenfalls einen 90°-Winkel besitzt.

Deshalb gilt:

Dreieck ABC ist rechtwinklig
mit [AB] als Hypotenuse.

 

Sätze

 Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz

Beweise

 Arithmeti- scher Beweis Zerle- gungs- beweis Ergänzungs- beweis Ähnlich- keits- beweis Sche- rungs- beweis Beweis des Höhensatzes Beweis des Kathetensatzes

Zusammen- hänge

 Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz Vom Höhensatz zum Kathetensatz Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras Vom Kathetensatz zum Höhensatz Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen Umkehrung Satz des Pythagoras Umkehrung Höhensatz Umkehrung Kathetensatz

Prinzipien

 Spezialisierung Verallgemeinerung Analogie