umkehrung satz des pythagoras

Wenn Dreieck ABC ein Dreieck mit den Seiten a, b, c ist
und die Beziehung c^² = a^²+b^² gilt, dann ist Dreieck ABC
ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse.

Wir gehen von einem rechtwinkligen Dreieck mit
den Katheten a und b aus und zeigen, dass dieses
kongruent zu dem im Satz formulierten Dreieck ist.

Sei A'B'C' dasjenige rechtwinklige Dreieck mit rechten
Winkel bei C', für dessen Katheten [A'C'] und [B'C'] gilt:

|A'C'| = b und |B'C'| = a

Da der Satz des Pythagoras auf Dreieck A'B'C'
zutrifft, gilt für dessen Hypotenuse:

|A'B'|^² = |A'C'|^² + |B'C'|^², also |A'B'|^² = a^² + b^².

Wegen der Voraussetzung c^² = a^²+b^² folgt hieraus
|A'B'|^² = c^², was nur für |A'B'| = c möglich ist.

Damit stimmen Dreieck A'B'C' und Dreieck ABC
in allen drei Seiten überein.
Sie sind demnach kongruent, was zur Folge hat,

dass auch Dreieck ABC rechtwinklig
ist mit [AB] als Hypotenuse.

Sätze	Satz des Pythagoras						Höhensatz		Kathetensatz
Beweise	Arithmeti- scher Beweis	Zerle- gungs- beweis	Ergänzungs- beweis		Ähnlich- keits- beweis	Sche- rungs- beweis	Beweis des Höhensatzes		Beweis des Kathetensatzes
Zusammen- hänge	Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz			Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz			Vom Höhensatz zum Kathetensatz	Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras	Vom Kathetensatz zum Höhensatz	Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen	Umkehrung Satz des Pythagoras						Umkehrung Höhensatz		Umkehrung Kathetensatz
Prinzipien	Spezialisierung		Verallgemeinerung		Analogie