vom satz des pythagoras zum kathetensatz

Wir wenden den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen
Dreieck ABC und an dessen rechtwinklige Teildreiecke
an und gelangen durch Subtraktion und Addition
entsprechender Gleichungen zum Kathetensatz.

Da die Teildreiecke ADC und BDC rechtwinklig sind, können wir auf diese den Satz des Pythagoras anwenden
und erhalten:

b^² = q^² + h^² (*)

a^² = p^² + h^² (**)

Wir eliminieren h indem wir (**) von (*) subtrahieren:

a^² - b^² = p^² - q^² = (p + q) · (p - q) (I)

Ferner gilt:

a^² + b^² = c^² = (p + q)^² (II)

Addieren wir (I) und (II), erhalten wir a^² = p·c:

2a^² = (p + q) · (p - q) + (p + q)^²
= (p + q) · [(p - q) + (p + q)] = 2·p·c

Also gilt:

a^² = p·c

Subtrahieren wir (I) von (II), erhalten wir b^² = q·c:

2b^² = (p + q)^² - (p + q) · (p - q)
= (p + q) · [(p + q) - (p - q)] = 2·q·c

Also gilt:

b^² = q·c

Sätze	Satz des Pythagoras						Höhensatz		Kathetensatz
Beweise	Arithmeti- scher Beweis	Zerle- gungs- beweis	Ergänzungs- beweis		Ähnlich- keits- beweis	Sche- rungs- beweis	Beweis des Höhensatzes		Beweis des Kathetensatzes
Zusammen- hänge	Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz			Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz			Vom Höhensatz zum Kathetensatz	Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras	Vom Kathetensatz zum Höhensatz	Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen	Umkehrung Satz des Pythagoras						Umkehrung Höhensatz		Umkehrung Kathetensatz
Prinzipien	Spezialisierung		Verallgemeinerung		Analogie