Anhang zum Ergänzungsbeweis für den Satz des Pythagoras

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bild20b.JPG (23771 Byte) (1) Die linke Figur wird durch die vier kongruenten Dreiecke mit Katheten a und b und Hypotenuse c so ergänzt, dass ein Quadrat mit der Seite a+b entsteht. (Zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke bilden ein Rechteck mit den Seiten a und b.)

(2) Die ursprüngliche rechte Figur (schraffiertes Quadrat mit den Seiten c) wird durch kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b und Hypotenusen c ergänzt. Diese wird so ergänzt, dass die Hypotenusen c der Dreiecke an den Seiten des schraffierten Quadrats mit den Seiten c anliegen. Somit treffen die Ecke A eines Dreiecks, die Ecke B eines Dreiecks und eine Ecke des schraffierten Hypotenusenquadrats aufeinander. Da sich die Winkel bei A und B im rechtwinkligen Dreieck zu 90° ergänzen (Winkelsummensatz im Dreieck) und der Winkel des schraffierten Hypotenusenquadrats 90° ist, entsteht an dieser Stelle ein Winkel von 180°. Es entstehen hier keine zusätzlichen Ecken, bei der ergänzten Figur handelt sich also um ein Viereck. Die Seiten dieses Vierecks sind alle gleich lang, nämlich a+b und die Ecken haben einen rechten Winkel, da sich dort die rechten Winkel der ergänzten rechtwinkligen Dreiecke befinden. Also ist ein Quadrat mit den Seiten a+b entstanden.

Aus (1) und (2) folgt, dass die beiden Figuren deckungsgleich sind.

 

Sätze

Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz

Beweise

Arithmeti- scher Beweis Zerle- gungs- beweis Ergänzungs- beweis Ähnlich- keits- beweis Sche- rungs- beweis Beweis des Höhensatzes Beweis des Kathetensatzes

Zusammen- hänge

Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz Vom Höhensatz zum Kathetensatz Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras Vom Kathetensatz zum Höhensatz Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen Umkehrung Satz des Pythagoras Umkehrung Höhensatz Umkehrung Kathetensatz

Prinzipien

Spezialisierung Verallgemeinerung Analogie