Warum passen die vier kongruenten Dreiecke
wie in der Figur in das Quadrat?

Die Dreiecke kann man genau auf die Seiten des Quadrats setzen, da deren Hypotenusen c ihnen entsprechen. Da die Dreiecke bei C einen Winkel von 90° besitzen, müssen die beiden anderen Winkel zusammen (Winkelsummensatz i. Dreieck) auch 90° ergeben. Da der Winkel bei A und der Winkel bei B zweier Dreiecke zusammen 90° ergeben, kann man diese beiden Ecken genau in die Ecke eines Quadrats (Winkel 90°)einpassen. Die vier Dreiecke sind kongruent, deshalb gilt diese Anordnung für alle vier.

 
Warum ist der so entstehende freie Platz
ein Quadrat mit den Seiten a-b?

Da die kongruente Dreiecke wie oben erklärt in das Quadrat mit den Seiten c eingepaßt werden können, schließt sich an die Seiten a der Dreiecke eine freie Fläche und die Seiten b der benachbarten Dreiecke an. Also liegt für die Länge a-b ein freier Platz an den Seiten a des Dreiecks an. Da die Dreiecke kongruent sind, hat der freie Platz auf allen vier Seiten die Länge a-b. Die Ecken des freien Platzes bilden einen Winkel von 90°, da der rechte Winkel der Dreiecke bei C und der Winkel der Ecken des freien Platzes sich zu 180° ergänzen (Summe zweier Nebenwinkel ergibt 180°).