GeoGebra3D - Anwendung in der Linearen Algebra

WICHTIG: Hinweise zur Installation von GeoGebra 3D

Einführung in die Nutzung von GeoGebra 3D

Die Bedienung von GeoGebra 3D kennenlernen

Hinweise zur Bedienung: Mit der neuen Grafik 3D-Ansicht gibt es auch ein paar wichtige Neuigkeiten im Vergleich zur 2D-Ansicht bezüglich der Bedienung und zu den möglichen Einstellungen.

• Die Ansichtsrichtung lässt sich mit Werkzeugen (letzte Werkzeug-Box) ändern bzw. mit der Maus (rechte Maustaste, linke Maustaste mit  STRG  und Mausrad). Ausführlich wird dies in einem Film erklärt.
• Bei der Bewegung von Punkten gibt es zwei Möglichkeiten, die per Klick auf den Punkt geändert werden können. Man kann den Punkt entweder in x-y- oder z-Richtung bewegen.
• Für die neue Ansicht gibt es neue Einstellung (zur Zeit nicht im Menü sondern nur über das Kontextmenü der Grafik3D-Ansicht). Ausführlich dazu ein Anleitungs-Film.
  • Dazu gehören auch verschiedene Arten von Perspektiven, die man über die Gestaltungsleiste auswählen kann.

Wichtige Informationen rund um die Eingabe und das Zeichnen von Vektoren

• Neben dem Werkzeug zum Zeichnen von Vektoren mit Hilfe von zwei Punkten gibt es noch zwei Textbefehle:
  • Vektor[Punkt] ... erzeugt den Ortsvektor zu einem Punkt
  • Vektor[Anfangspunkt, Endpunkt] ...erzeugt einen Vektor zwischen zwei Punkten, wobei man diese auch berechnen kann, wie etwa Vektor[A, A + b] wenn A ein Punkt und b ein Vektor ist.

• Bei der Eingabe von (1,2,3) in die Eingabezeile kann man einen Vektor oder einen Punkt zeichnen.
  • (1,2,3) erzeugt einen Punkt
  • A=(1,2,3) erzeugt ebenfalls einen Punkt
  • a=(1,2,3) erzeugt einen Vektor vom Ursprung zum Punkt (1,2,3)
  • Man kann Punkte und Vektoren auch nachträglich umbenennen, wenn man andere Namen haben will.

• GeoGebra verfolgt ein Konzept, bei dem beim Rechnen nicht zwischen Punkten und Vektoren unterschiedenen wird (siehe G. Malle). So kann man mit Punkten rechnen wie mit Vektoren. Hier ein paar Beispiele:
  • Den Mittelpunkt der Punkte A und B erhält man durch (A+B)/2
  • Der Punkt A am Ursprung gespielt ist der Punkt -A
  • Der Punkt A an Punkt B gespiegelt ist B + (B-A)

Arbeitsauftrag Probieren Sie die Werkzeuge der 3D-Aussicht und die Eingabe von Punkten udn Rechnungen mit Punkten selber aus. Mehr Infos zu den einzelnen Werkzeugen gibt es auf dieser Seite im GeoGebra-Wiki-Handbuch.

Arbeitsauftrag ERGÄNZUNG: Bestimmen Sie mit einem Befehl den Schwerpunkt eines Dreiecks mit Hilfe der Eckpunkte.

GeoGebra 3D im Unterricht

Im Folgenden ein paar Ideen, wie man die 3D-Version von GeoGebra im Unterricht nutzen kann. Zu diesem Themen folgen dann später konkrete Beispiele und Übungen.

• Die Schüler bekommen freie Zeichenaufgaben

Hier geht es um das Kennenlernen von GeoGebra 3D und gleichzeitig um das Kennenlernen des 3-dimensionalen Raumes. Was bisher nur theoretisch behandelt werden konnte, können die Schüler nun direkt umsetzen.

Beispiel: Ebener Quader, Pyramide oder Haus nach Maßvorgaben zeichnen.

• Vorgegebene Szenen sollen durch die Schüler benutzt oder ergänzt werden.

Beispiel: Addtionsaufgaben wie in den Büchern können nun direkt bearbeitet werden. Man kann Lösungen eingeben und schauen, ob es stimmt.

Beispiel: Quader nach vorgebenen Punkten schräg im Raum

Beispiel: Entdecke die Eigenschaften des Skalarproduktes (Beispieldateien für 4.0)

Beispiel: Untersuchung von Matrizen und Abbildungen (Beispieldateien für 4.0 ... mit 3D-Punkten noch nicht möglich)

• Lösen raumgeometrischer Aufgaben durch interaktives Konstruieren.

Mithilfe von GeoGebra 3D ist es möglich, analytisch-geometrische Aufgaben auch ohne Rechenkalkül exakt zu lösen. Dabei unterstützt die Funktionalität des Programms die Entwicklung und Anwendung raumgeometrischen Wissens und fördert zugleich die Raumvorstellung der Schülerinnen und Schüler.

Beispiel: Interaktives Konstruieren ist mit fast allen typischen Schulbuchaufgaben möglich.

• Rechnerische Lösungen von Aufgaben können in GeoGebra 3D kontrolliert werden.

Die Schüler zeichnen die gegebenen Objekte und ihre Lösung in das virtuelle Koordinatensystem ein und kontrollieren die Richtigkeit. Da die exakten Lösungen nicht immer direkt in der Konstruktion ablesbar (erkennbar) sind, müssen diese ggf. nachräglich konstruiert werden.

Beispiel: Liegt der Punkt auf der Geraden?

Beispiel: Ist die Geraden senkrecht zu der Ebene?

• Als Visualisierungswerkzeug für 3D-Szenen

GeoGebra3D bietet die nun endlich die Möglichkeit, die 2D-Bilder aus den Büchern 3-dimensional und dynamisch darzustellen. Sie sind dabei variabel und können von von allen Seiten angeschaut werden.

Beispiele: Parameterformen bei Geraden/Ebenen, Normalenform, Koordinatenform, usw.

Beispielaufgaben mit Musterlösungen

Beispiele für Freie Zeichenaufgaben

Ziele: Lernen Sie, wie man Punkte über die Eingabezeile und mit mit den Werkzeugen eingeben kann. Nutzen Sie erste Werkzeuge und üben Sie den Umgang mit dem der 3D-Grafik-Ansicht.

•   Zeichnen eines Quaders von Hand mit vorgegebenen Maßen
•   Zeichnen einer quadratischen Pyramide mit variablen Maßen

Beispiele für das Ergänzen von Zeichnungen

Ziele: Lernen Sie wie man Vektoren von Hand eingibt und gezielt Vektoren zwischen vorgegebenen Punkten zeichnet. Lernen Sie kennen, dass GeoGebra auch mit Punkten rechnen kann und wann ein Punkt oder ein Vektor erzeugt wird.

Wichtiger Hinweis: Auch wenn die Vektoren in den Zeichnungen meist eine Beschriftung haben, bei der ein Vektorpfeil über dem Namen steht, so kann doch immer der Name ohne Pfeil zum Rechnen verwendet werden, da dies der richtige Name innerhalb von GeoGebra ist. Beispiel: Der Vektor <math>\vec{a}</math> hat den Namen <math>a</math>.

•   Einzeichnen von fehlenden Kanten Vektoren zu einem Tetraeder
•   Ergänzen der Eckpunkte eines Spates
•   Vervollständige eine Pyramide bei gegebenen Kantenvektoren
•   Die Koordinaten eines 3D-Vektors durch einen Quader verdeutlichen
•   Erstellen eines Werkzeuges für das Zeichnen von Vektoren an bestimmten Stellen

Beispiele für das Lösen mithilfe interaktiven Konstruierens

Die Aufgabenstellungen finden Sie auf dem im Workshop ausgeteilten Aufgabenblatt. Unter den folgenden Links können Sie die zu jeder Aufgabe passende Datei (mit den gegebenen Grundkonstruktionen wie z.B. Punkt, Gerade,...) herunterladen. Daneben gibt es zu jeder Aufgabe eine exemplarische Musterlösung in Form eines Anleitungsvideos, bzw. als fertige GeoGebra-Datei.

•   Materialien zu Aufgabe 1
•   Materialien zu Aufgabe 2
•   Materialien zu Aufgabe 3
•   Materialien zu Aufgabe 4
•   Materialien zu Aufgabe 5
•   Materialien zu Aufgabe 6

Visiualisierungswerkzeug

Viele Schüler haben Probleme, dass Konzept des "Parameters" zu verstehen. Ebenso bei den Normalenformen. Und obwohl die Koordinatenform bei Ebenen sich kaum von den Geradengleichungen aus der Mittelstufe unterscheiden, fällt es vielen Schülern schwer, die Bedeutung der Gleichung zu verstehen.

Statt statischen Zeichnungen im Buch können in GeoGebra dynamische Zeichnungen mit Hilfe von Schieberegler erstellt werden. Oder man verwendet Gleiter auf den Ebenen, um einen Punkt auf dem Objekt zu haben, dessen Koordinaten-Werte man mit Hilfe von dynamischem Text zur Kontrolle in die Gleichung einsetzt.

Zu den folgenden Beispielen gibt es jeweils Anleitungen in Form von Videos, sowie die fertigen Dateien zum Ausprobieren.

•   Parametergleichung von Geraden in 2D darstellen (Video)

•   Parametergleichung von Ebenen in 3D darstellen (Video)

•   Koordinatenform von Ebene mit variablen Koeffizienten und Spurgeraden (Video)

•   Koordinatenform von Ebenen über Spurpunkte festlegen (Video)

•   Normalenform von Ebenen darstellen (Video)

Ausblick: Ein neuer Unterricht in linearer Algebra?

Führt eines neues 3D-Werkzeug, wie es in GeoGebra 5.0 vorhanden ist, zu einem neuen Unterricht? Mit dem CAS ist das für die Analysis ja angestrebt und umgesetzt worden. Einige Didaktiker haben sich dazu schon Gedanken gemacht und haben Ideen geliefert.

• Animationen von Punkten und anderen Objekten mit Hilfe von Schiebereglern (linear, beschleunigt, kreisförmig, ...)

  Kreisförmige Animation eines Punktes auf einem beliebigen Kreis

• Man könnte nun auch andere Formen von Punktemengen betrachten außer Gerade, Ebene und Kugel
  • GeoGebra bietet bereits Kegel und Zylinder
  • Anwendung der Idee von Parameter- und Koordinatengleichungen auf neue Formen
  • Funktionen f(x,y)
  • Rotationskörper könnten mit Parameterlinien und Folgen erstellt werden
• Das CAS und die Tabellenkalkulation übernehmen die aufwendigen Rechnungen zur Bestimmung von Lösungen von Gleichungssystemen.
  • Nutzung von Skalarprodukt, Vektorprodukt, Determinanten, Matrizen, usw.
  • Lösen von Gleichungssystemen (auch unter- bzw. überbestimmt)

Links

• Release Notes von GeoGebra 5.0 ... enthält alle neuen Befehle in der Version 5.0, allerdings sind nicht nur die 3D-Befehle zu finden.