1 - Einfache Animationen

Der hüpfende Ball

Grundidee

Ein hüpfender Ball beschreibt – wenn man Reibungsverluste vernachlässigt – Parabelbögen. (Quelle: Wikipedia)

Wir lassen einen Punkt entlang eines Parabel wandern. GeoGebra gibt uns die Möglichkeit ein Bild eines Balles an diesem Punkt zu binden. Wenn die nicht benötigte Konstruktionselemente ausgeblendet werden, sieht es so aus, als ob der Ball "von alleine" hüpfen würde.

Vorbereitung

Laden Sie das Bild (50px) eines Balles auf Ihren Rechner , z.B. von den Seiten von openclipart.org oder laden Sie dieses Bild herunter:

Konstruktion

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
1	Erstellen Sie einen Schieberegler "t".	Zeichenwerkzeug	Wählen Sie das Werkzeug "Schieberegler"    und klicken auf eine Stelle in der Grafik-Ansicht. Stellen Sie die Werte im darauffolgenden Dialog ein: min=0; max=3; Schrittweite=0.01; Geschwindigkeit=3.
2	Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x)=-x(x-3).	Eingabezeile	Tippen Sie die Funktionsgleichung in die Eingabezeile und bestätigen Sie ihre Eingebe mit der Eingabetaste.
3	Definieren Sie einen Punkt auf dem Parabel.	Eingabezeile	Tippen Sie A=(t,f(t))
4	Definieren Sie einen zweiten Punkt: A1, der eine Einheit neben A in der gleichen Höhe liegt.	Eingabezeile	Geben Sie A1=(x(A)+1,y(A)) ein.
5	Fügen Sie das Bild eines Balles ein.	Zeichenwerkzeug	Wählen Sie das Werkzeug "Bild"    und klicken Sie auf den Punkt A. Sie können im folgendem Dialog das benötigte Bild suchen und einfügen.
6	Binden Sie die zweite Ecke des Bildes am Punkt A1.	Grafikansicht	Bildeinstellung Rechtsklick auf das Bild Eigenschaften / Position
7	Starten Sie die Animation.	Grafikansicht	Rechtsklick auf den Schieberegler, Animation. Der Ball bewegt sich. Im linken unteren Ecke des Grafikansichts erscheint ein kleines Symbol, mit dem Sie die Animation jederzeit stoppen oder starten können.
8	Blenden Sie alle nicht benötigten Objekte aus.	Algebraansicht oder Grafikansicht	Klicken Sie im Algebraansicht auf den kleinen Punkt vor dem Objekt oder im Grafikansicht: Rechtsklick auf das Objekt / Objekt anzeigen.

Sie können die Konstruktion Schritt für Schritt auf GeoGebraTube verfolgen.

Mehrere Sprünge

In diesem Abschnitt werden wir versuchen den Ball mehrere Sprünge springen lassen.
Um Ihre Arbeit zu erleichtern können Sie eine Vorlage von GeoGebraTube hier herunterladen oder die Datei mit der Onlineversion von GeoGebra (hier) konstruieren.
Selbstverständlich können Sie auch mit ihrem GeoGebra-Software ohne Vorlage weiterarbeiten - in diesem Fall fehlt Ihnen aber das Werkzeug: Parabel-2.

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
1	Zeichnen Sie eine zur x-Achse parallele Gerade a.	und	Setzen Sie einen Punkt auf die y-Achse und Benutzen Sie anschließend das Werkzeug "parallele Gerade" →Gerade a.
2	Setzen Sie einen Punkt B auf die x-Achse und einen Punkt C auf die Gerade a.
3	Erstellen Sie mit Hilfe des Werkzeuges "Parabel-2" einen Parabel durch A und B.		Klicken Sie erst auf das Symbol des Werkzeuges, dann auf A und auf B.
4	Zeichnen Sie auf der gleichen Art und Weise zwei weitere Parabeln. Achten Sie darauf, dass die Parabeln eine gemeinsame Nullstelle haben.		Sie haben nun drei Funktionen: f, g und h definiert.
5	Legen Sie einen Schieberegler t an.		0 ≤ t ≤ letzte Nullstelle, Schrittweite 0,01
6	Legen Sie auf jeden Parabel einen Punkt (P, Q, R).	Eingabezeile	P=(t, f(t)); Q=(t, g(t)); R=(t, h(t))
7	Definieren Sie die Punkte P1, Q1 und R1 eine halbe Einheit neben P, Q und R.	Eingabezeile	Tippen Sie P1 = (x(P)+0.5 , y(P)) u.s.w.
8	Fügen Sie drei Bilder ein und der selben Ball ein. Binden Sie sie zu den vorher definierten Punktpaaren.
9	Sichtbarkeit der Bilder einstellen.	Eigenschaften des Bildes, Erweitert	Stellen Sie als Bedingung, um Objekt anzuzeigen Beim 1. Bild: erste Nullstelle ≤ t ≤ zweite Nullstelle, Beim 2. Bild: zweite Nullstelle ≤ t ≤ dritte Nullstelle, Beim 3. Bild: dritte Nullstelle ≤ t ≤ vierte Nullstelle ein.
10	Starten Sie die Animation.

Parabeln anpassen

Natürlich können die Parabeln nicht willkürlich angelegt werden.

Die Physik lehrt uns: Der Aufprallwinkel des Balles ist gleich mit dem Winkel, wie der Ball wieder "wegspringt".

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
1	Zeichen Sie die Tangenten in der zweiten Nullstelle.		Klicken Sie erst das Werkzeug, dann die Nullstelle und die Parabel an. Fahren Sie auf der gleichen Weise für die 2. Tangente fort.
2	Messen Sie die Winkel zur x-Achse.	und	Setzen Sie auf jeden Schenkel (d.h. x-Achse und Tangente) je einen Punkt (falls noch nicht vorhanden). Klicken Sie die erst   , dann Punkt auf dem 1. Schenkel - Scheitel - Punkt auf dem 2. Schenkel an.
3	Gleiche Winkel einstellen		Bewegen Sie den Scheitel der 2. Parabel, bis hinreichend gleiche Winkel entstehen.

Abnehmender Höhe

Der Ball verliert beim jeden Aufprall eine bestimmte Prozent seiner Energie, dadurch auch die Höhe des nächsten Sprunges. Wie viel das genau ist, hängt von der Beschaffen seit von Ball und Boden ab.
Legen Sie eine Reihe von Parabeln an, deren Scheitelpunkt immer 20% niedriger als der vorige liegt. Arbeiten, wie bei "Mehrere Sprünge" und "Parabeln anpassen" beschrieben weiter.

Lösung mit einer abschnittsweise definierten Funktion

  Eine sehr elegante, wenn auch (inhaltlich) nicht ganz einfache Lösung. Die Idee und Umsetzung entstand auf der Fortbildungsveranstaltung "Mathematik und Medien" in April 2015.

Konstruktionsprotokoll

Nr.	Name	Definition
1	Zahl t
2	Zahl a	floor(t)
3	Funktion f	f(x) = Wenn[a ≤ x ≤ a + 1,-(10 (0.8^a)) (x - a) (x - a - 1)]
4	Punkt A	(t, f(t))
5	Bild Bild1
6	Punkt B	(x(A) + 1, y(A))

Bemerkungen:

• floor(t) schneidet die Dezimalstellen von t ab
• in Zeile 3 wird ein Funktionenschar in Abhängigkeit von a definiert

Schlitten

Parameterkurven