Summe der Innenwinkel in einem Vieleck berechnen und als Text anzeigen lassen

Aufgabenstellung

Zeichnen Sie die Summe für mehrere Vielecke und bestimmen Sie die Summe der Innenwinkel. Geben Sie die Summe jeweils als Text aus.

Anleitung

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
1	Machen Sie das Koordinaten-System unsichtbar	Grafik-Ansicht oder Menü Ansicht	Es gibt mehrere Möglichkeiten dies zu tun: Entfernen Sie im Menü Ansicht den Haken bei Achsen. Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Grafik-Ansicht und klicken im Kontext-Menü den Befehl Achsen an.
2	Zeichnen Sie ein Dreieck	Zeichenwerkzeug	Wählen Sie das Werkzeug Vieleck    und klicken Sie an drei Stellen der Zeichenfläche um zuerst die Eckpunkte zu zeichnen. Abschließend klicken sich noch einmal auf den als erstes gezeichneten Punkt, um das Dreieck zu zeichnen.
3	Bestimmen Sie die Größe aller Winkel im Dreieck	Zeichenwerkzeug	Nachdem Sie das Werkzeug    ausgewählt haben, klicken Sie einfach auf die Fläche des Dreiecks
4	Falls die Außenwinkel markiert wurden, ändern Sie dies	Eigenschaften-Dialog oder Grafik-Ansicht	Die Außenwinkel wurden markiert, weil die drei Punkte mit dem Uhrzeigersinn gezeichnet wurden. Eine Möglichkeit dies zu ändern ist also, einfach eines der Punkte so zu verschieben, das die Richtung umgekehrt ist. Als andere Möglichkeit können Sie den Eigenschaften-Dialog per Rechtsklick auf eines der Winkel öffnen und in der Liste links das Wort Winkel anklicken, so dass alle Winkel markiert sind. Entfernen Sie dann auf der ersten Registerkarte Grundeinstellungen den Haken bei Überstumpfer Winkel möglich.
5	Geben Sie in Grafik-Ansicht die Einzelwinkel und die Summe als Text aus	Zeichenwerkzeug	Geben Sie im Eingabebereich oben ein: <math>\alpha + \beta + \gamma = + + =</math>. Die griechischen Buchstaben können Sie mit Hilfe der Ausklappbox Symbole einfügen. Klicken Sie diese an und wählen Setzen Sie den Cursor zwischen zweiten Gleichheitszeichen und dem "+". Wählen Sie In der Auswahlbox Objekte den Winkel <math>\alpha</math> aus. Klicken Sie mit dem Cursor nun an die Stelle wohin <math>\beta</math> gehört und verfahren Sie wie bei <math>\alpha</math>. Gleichen machen Sie für <math>\gamma</math>. Hinter dem letzten Gleichheitszeichen setzen Sie nun den Cursor und fügen mit der Ausklappbox Objekte wieder den Winkel <math>\alpha</math> ein. Klicken Sie nun in den kleinen Rahmen, in dem das <math>\alpha</math> steht und ergänzen die den Text da drinnen zu <math>\alpha + \beta + \gamma</math>. Beenden Sie nun den Dialog mit OK. HINWEIS: Das Einfügen der griechischen Buchstaben in den kleinen Rahmen funktioniert aus der Ausklappbox nicht. Kopieren Sie die Buchstaben, die außerhalb des kleinen Rahmens sind, dann in den kleinen Rahmen hinein.
6	Zeichnen Sie ein beliebiges Fünfeck mit den Innenwinkeln	Zeichenwerkzeug    und	Nachdem Sie das Werkzeug    ausgewählt haben klicken Sie an fünf Stellen auf der Zeichenfläche (am besten gegen den Uhrzeigersinn!) und dann noch mal auf den ersten Punkt. Wählen Sie dann das Werkzeug    aus klicken Sie auf das Fünfeck.
7	Berechnen Sie die Summe der fünf Winkel <math>\delta</math> bis <math>\theta</math> ohne die "Einheit" °	Eingabezeile	Geben Sie in der Eingabezeile unten ein Summe = <math>\delta</math>/° + <math>\epsilon</math>/° + <math>\zeta</math>/° + <math>\eta</math>/° + <math>\vartheta</math>/°. Die griechischen Buchstaben können Sie einfügen, wenn Sie auf das <math>\alpha</math>-Symbol klicken, das am Ende der Eingabezeile zu sehen ist, wenn der Cursor in dieser Eingabezeile gesetzt wurde. In der erscheinenden Auswahl klicken Sie einfach nacheinander die Buchstaben an.
8	Geben Sie in Grafik-Ansicht die Einzelwinkel des Fünfecks und die Summe der Winkel als Text aus	Zeichenwerkzeug	Verfahren Sie für die Angabe der Einzelwinkel wie bei Punkt 5. Für die Summe wählen Sie in der Auswahlbox Objekte, das Objekt Summe aus und fügen Sie außerhalb den kleinen Rahmens das Gradzeichen "°" an.

Erklärung: GeoGebra kennt nur Winkel bis 360°. Ein Winkel von 360° wird als 0° gespeichert. Man kann Summen von Winkel, die zusammen größer als 360° sind, berechnen, indem man die Einheit entfernt. Dies geschieht durch das Wegkürzen der Einheit "°", indem man den Winkel also durch "°" teilt mit dem Befehl /°. Bei der Ausgabe des Werte der Summe (kein Winkel sondern nur eine Zahl) wird dann wieder das Gradsymbol ° ergänzt.

Einsatz im Unterricht

Die Tatsache, dass GeoGebra Winkel nur bis 360° akzeptiert macht eine Übung, bei der Schüler alleine Regeln für die Summe der Innenwinkel in Vielecken entdecken etwas schwer.

Wenn man die Ausgabe als Text weglässt, sollte die Berechnung der Summe der Einzelwinkel (nach Wegkürzen der Einheit °) auch für Schüler kein Problem darstellen.

Sehr geübte GeoGebra-Nutzer könnten ein Arbeitsblatt vorbereiten, bei dem per Schieberegler die Anzahl der Ecken variiert wird. Mit Hilfe von Listen und dem Folgen-Befehl ließe sich auch variabel die Summe alle Innenwinkel berechnen, was allerdings relativ kompliziert ist.

Bei selbst gezeichneten Vielecken könnten die Schüler gleich Hilfslinien zum Beweis des Satzes zu der Summe der Innenwinkel einzeichnen und alle zum Beweis notwendigen Winkel ebenfalls einzeichnen.

Tipp: Damit die vielen Punkte und Strecken nicht stören könnten diese als Hilfsobjekte deklariert werden. Öffnen Sie dazu den Eigenschaften-Dialog, wählen alle Objekte des Types Strecken an (einfach das Wort Strecke anklicken) und setzen auf der Registerkarte Grundeinstellungen ein Häkchen bei Hilfsobjekt.