GeoGebra-Tagung RLP 2017/Workshop-Phase I/Integralrechnung

Einführung der Integralrechnung über den rekonstruierter Bestand

Hinweis: Ein Klick auf die Bilder führt zu den Dateien.
GeoGebra-Tagung RLP 2018

Einstieg in das Thema

Ein Advance Organizer gibt den Lernenden einen Überblick über die Einheit und die Vorstellungsübung schafft den Einstieg in den Kontext.

Weg 1: Von der Änderungsrate zum Bestand auf graphischem Weg

	Simulation Die Wasserhahnapplet der AK MSS (Landau) hat mehrere Versionen. Die im Workshop benutzte Version (Blatt 2) kann nach einem Klick auf das Bild heruntergeladen werden.
Logo-GeoGebra-Institut-RLP	Noch mehr Simulation Weitere Versionen können auf der Materialseite des GeoGebra-Institut (RLP) betrachtet und heruntergeladen werden.
	Vernetzung Übergang zur Vorstellung des Integrals als orientierter Flächeninhalt
	Ober- und Untersummen Integralbegriff aus orientiertem Flächeninhalt
Test I Test II	Diagnose Die Tests sind mit dem Onlinetool "Socrative" (www.socrative.com: Erstellen,Verwalten und Durchführen von Tests) erstellt. Schüler können den Test auf einem Rechner oder mit Hilfe von Socrative-App an ihren mobilen Endgeräten durchführen. Eine Registrierung ist nur für die Erstellung der Tests nötig. Nach einer Registrierung auf der Website (als Lehrer) können die Tests mit Hilfe der Nummer "SOC-16894656" und "SOC-17174599" kopiert werden. Ein Klick auf die Bilder rechts führt jeweils zu den pdf-Versionen der Tests.

Weg 2: Von der Änderungsrate zum Bestand durch Überlegungen

Der erste Weg zum Integral kann nur dann gegangen werden, wenn die Schüler grafisches Ableiten sicher beherrschen. Dies kann (z.B. durch Lehrerwechsel) nicht immer vorausgesetzt werden. In diesem Fall ist es sinnvoll nach der Vorstellungsübung zum Applet 1 zu wechseln.
Der unten beschriebene Unterrichtsverlauf ist das Ergebnis von zwei Durchläufen, jeweils in einem Mathematik Grundkurs.

	Applet 1 Von der Vorstellung zur Wassermenge.
Zuflussrate	Weiterführung der Arbeit Nach Experimente mit Applet 1 und der Besprechung der Ergebnisse ist die Interpretation des Diagramms für die Schüler kein Problem. In Gruppenarbeit kann die Frage: "Wie viel Wasser ist in den einzelnen Abschnitten geflossen?" gelöst werden. Auch der Graph der Funktion Zeit - Wassermenge soll so gut, wie möglich skizziert werden. Ergebnisse der Gruppenarbeit Eine Gruppe hat mit Durchschnittswerten gearbeitet, die zweite Gruppe hat keine zufrieden stellende Ergebnisse erzielt. Die dritte Gruppe hat die Grundlagen für die Bildung von Untersummen geliefert. Bemerkung: Auch der Vorschlag der ersten Gruppe kann für die Bildung von Teilsummen ausgebaut werden. Erfahrung: Die Vorstellung des Graphen der Funktion Zeit - Wassermenge liefert ertragreiche Diskussionen über die Krümmung des Graphen und bietet hervorragende Gelegenheiten zum Argumentieren.
	Genaue Bestimmung der Wassermenge Mit Hilfe der GeoGebradatei "Wasser fließt" kann die Bestimmung der geflossenen Wassermengen genau beschrieben werden (Mathematischer Aufsatz). Auch das Erstellen einer Wertetabelle der Funktion Zeit - Wassermenge ist mit Hilfe des Applets möglich.

Letzte Schritte

• Mit Hilfe der Wertetabelle wird erst ein Funktionsgraph erstellt, bevor
• mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems die Funktionsgleichung bestimmt wird.
• Im Laufe der Unterrichtseinheit erkennen die Schüler erfahrungsgemäß den Zusammenhang zwischen Bestand und Flächeninhalt spontan. Ein zu früher Einsatz dieser Idee kann mit der Einfachen Frage: "Warum ist es so?" verhindert werden.
• Im weiteren Verlauf des Unterrichts wird mit Hilfe von vielen durchgerechneten Beispielen erkannt, dass die Ableitung der unzähligen, in Gruppenarbeit bestimmten Bestandfunktionen die Zuflussrate liefert.
• Bestand als Grenzwert von von Ober- und Untersummen: Der Grenzwertprozess wurde einmal exemplarisch für eine einfache lineare Funktion durchgeführt.
• Die bisherigen Erkenntnisse werden in einem Übersicht dargestellt (Concept Map)

Datei:CM Integralrechnung.pdf

Erst verstehen, dann definieren!
Erst, wenn die Vorgehensweise zur Bestimmung von Bestand verstanden wurde; erst, wenn die Verknüpfung der verschiedenen Darstellungen erfolgt ist: erst dann werden die Fachausdrücke genau definiert und HDI genau formuliert!