GeoGebra-Tag für Studienseminare 2016/Geogebra CAS im Mathematikunterricht der Oberstufe

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Überblick - Das CAS im Rahmen der Möglichkeiten von GeoGebra

Mit dem Prezi möchte ich auf einige, üblicherweise nicht allen bekannten Funktionen und Möglichkeiten in GeoGebra eingehen. Außerdem wird das CAS als eine von vielen Ansichten vorgestellt und wie man diese kombinieren kann. Die im Prezi vorkommenden Arbeitsblätter sind im oben erwähnten GeoGebraBook auf GeoGebraTube einsehbar.

Eine kleine Einführung in das GeoGebra-CAS

Umgang mit Brüchen

In der normalen Eingabezeile kann ⅓ als Bruch eingegeben werden und man erhält dann die Zahl 0,333, je nachdem wie viele Nachkommastellen festgelegt sind. Man kann diesen Wert mit dem Befehl BruchText[1/3] im Grafik-Fenster auch wieder als Bruch anzeigen lassen. Dies funktioniert so zwar, aber bei Ergebnissen von Rechnungen bzw. aus der Zeichnung wird sich ein Wert ⅓ nicht zuverlässig als Bruch darstellen lassen, da in der Zeichnung immer gerundet wird.

Im CAS wird dagegen der Bruch ⅓ richtig interpretiert und auch so behalten. Zu dem Umgang mit Eingaben und zum Beispiel auch Brüchen, hier die drei Varianten, die jeweils mit den drei ersten Werkzeugen im CAS-Fenster durchgeführt werden.

Eingabe	Werkzeug-Nutzung	Erklärung
1/3	Berechne	Statt das Werkzeug zu anzuklicken, einfach die Eingabetaste drücken. Generell werden alle möglichen Vereinfachungen von Termen mit oder ohne Variablen vorgenommen. Berechnungen und Ergebnisse sind genau.
1/3	Numerisch	Führt dazu, dass Zahlen gerundet angegeben werden, also 0.33. Statt Werkzeug-Nutzung einfach Strg + Enter nutzen. Macht vor allem dann Sinn, wenn man bei einer komplizierten Lösung den ungefähren Wert haben will.
2/6	Behalte Eingabe	Führt dazu, dass die Eingabe erhalten bleibt. Statt Werkzeug einfach Alt + Enter nutzen, zum Beispiel auch zur Kontrolle ob eine Eingabe richtig ist.

Arbeitsauftrag Probieren Sie verschiedene Eingaben von Zahlen und Brüchen mit und ohne Variable aus. Vergleichen Sie auch mit der Eingabezeile. Stelle Sie dann interessante Beobachtungen den Kollegen vor.

Weitere einfache Werkzeuge und Befehle

Das GeoGebra-CAS kennt die üblichen Befehle, die man in CAS als Lehrer z.B. gut nutzen kann, um für Aufgaben die passende Zahlen zu finden.

Hier eine Auswahl der entsprechenden Werkzeuge und Befehle:

Eingabe	Werkzeug	Ausgabe	Erklärung
112		<math>{2^{4} \cdot 7}</math>	Faktorisieren: Zahlen werden in ihre Primzahlen zerlegt.
Faktorisiere[x² - 5x + 6]	-	<math>\left(x - 3 \right) \; \left(x - 2 \right)</math>	Das Faktorisieren kann aber auch als Textbefehl genutzt werden und funktioniert auch bei Polynomen. Der normale Befehl funktioniert nur, wenn die Klammern rationale Zahlen enthalten.
IFaktorisiere[x^2 + x - 1]	-	<math>\left(x + \frac{-\sqrt{5} + 1}{2} \right) \; \left(x + \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)</math>	... funktioniert auch bei irrationalen Zahlen und ...
KFaktorisiere[x^2 + 4]	-	<math> \left(x + 2 \; i \right) \; \left(x - 2 \; i \right)</math>	... mit komplexen Zahlen. Entsprechend für irrationale komplexe Zahlen mit KIFaktorisiere[...]
2^4*7	<math>{2^{4}}</math> markieren, dann	<math>{16 \cdot 7}</math>	Multiplizieren hat meist den gleichen Effekt wie das Drücken der Eingabe-Taste. Kann aber zum Beispiel verwendet werden, um Teile von Ausdrücken auszumultiplizieren. Entsprechender Text-Befehl lautet Multipliziere[...]
Teilerliste[15]	-	<math>{1, 3, 5, 15}</math>	Teilerliste liefert die Liste aller Teiler der Zahl.
GGT[12, 15]	-	<math>3</math>	Liefert für eine beliebigen Anzahl, auch Listen von Zahlen, den ggT. Entsprechend für den kgV[...].
GGT[x^2 + 4 x + 4, x^2 - x - 6]	-	<math>x+2</math>	... beide Befehle funktionieren auch mit Polynomen.
GemeinsamerNenner[3 / (2 x + 1), 3 / (4 x^2 + 4 x + 1)]	-	<math>4 x^2 + 4 x + 1</math>	GemeinsamerNenner findet bei den zwei gegebenen Brüchen den Nenner und dann den kgV. Funktioniert auch mit Brüchen.

Diese Auswahl ist nur ein kleiner Teil von noch viel mehr Befehlen für das CAS. Einen Überblick erhalten Sie auf dieser Seite, wobei wir einige dieser Befehle noch genauer behandeln werden.

Zusammenarbeit zwischen einzelnen Zeilen im CAS

Jede Zeile besteht aus Eingabe und der Ausgabe

Zugriff auf die Ausgabe:

• Anklicken fügt den Wert/Ausdruck in die neue Zeile ein. Es besteht kein dynamischer Zusammenhang!
• Entsprechendes gilt für die Leertaste.
• ) führt dazu, dass die letzte Ausgabezeile in Klammern gesetzt wird (braucht man für Äquivalenzumformungen!)
• Rechtsklick ermöglicht die Auswahl eines Ausgabeformates, um eine Formel woanders einzufügen (LaTeX, Writer, Bild).
• Ausgabe wird unterdrückt, wenn man am Ende der Eingabe ein Semikolon einfügt, z. B. a := 5; (so kann man mehrere Befehle hintereinander in einer Zeile schreiben!)

Zugriff auf die Eingabe:

• = fügt die Eingabe der aus der letzten Zeile erneut ein.
• Anklicken ermöglicht eine Bearbeitung des Befehles. Wurde ein Werkzeug verwendet, muss es erneut angewendet werden.

Alle vorher genannten Zugriffe sind nicht dynamisch, d.h. wenn ich eine Zeile vorher verändere, bleibt die Ausgabe so wie sie ist. Passieren kann das, wenn ...

• man die Zeile davor von Hand ändert.
• definierte Objekte (etwa auch über die Eingabezeile) ändert.

Neben den schon vorher genannten Möglichkeiten gibt es folgenden Varianten statisch oder dynamisch auf vorherige Zeilen zuzugreifen:

• Statische Bezüge kopieren die Ausgabe einer anderen Zeile und werden nicht aktualisiert, wenn sich die kopierte Zeile verändert.
  • # fügt die vorherige Ausgabe als Kopie ein.
  • #5 fügt die Ausgabe aus Zeile 5 als Kopie ein.
• Dynamische Bezüge fügen anstelle einer Kopie eine Verknüpfung mit der Ausgabe einer anderen Zeile ein. Eine spätere Änderungen der verwendeten Zeile wird sich daher auch auf die folgende Zeile auswirken
  • $ fügt die vorherige Ausgabe dynamisch ein.
  • $5 fügt die Ausgabe aus Zeile 5 dynamisch ein.

Umgang mit Gleichungen

Vorab eine Warnung! Zu vielen Fehlern und unerwartetem Verhalten führt das Vergessen des Malzeichens. Zwar ist GeoGebra recht flexibel und kann mit Ausdrücken wie <math>3x</math> umgehen. Will man aber zwei Variablen bzw. Parameter so hintereinander eingeben, wie etwa <math>ax</math>, so wird dies nicht als Produkt <math>a \cdot x</math> verstanden sondern als eine einzige Variable mit dem Namen <math>ax</math>. Deshalb sollte zur Sicherheit lieber einmal zuviel das Malzeichen "*" verwendet werden!

Eingabe von Gleichungen

• Eingabe von Gleichung mit einfachem =

3x+2=8 ... hier eine einfache lineare Gleichung oder auch mit anderen anderen mathematischen Funktionen.

• Definition von z.B. einer Funktion mit :=

f_t(x)=t*x^2+3*x-t ... Bestimmung einer Funktion mit Parametern. Das ist in der Eingabezeile nicht möglich, ohne das ein Schieberegler bestimmt wird.

• Benennung eines Objektes über name:

s:f(x)=3 ... es wird eine Gleichung mit dem Namen s erstellt: für welche x hat die Funktion f(x) den Wert 3?

Arbeitsauftrag Für diese "Versuche" sollte das CAS-Fenster und das Grafik-Fenster geöffnet sein! Geben Sie <math>f(x) \, := \, x^{2} - 3 \; x + 4</math>   ein. Probieren Sie folgende Eingabe danach aus: f(3) f(x)=4 Geben Sie <math>g \left(x \right) = 3 \; x - 4</math>   ein. Probieren Sie folgende Eingabe danach aus: g(2) g(x)=5

Lösungen von Gleichungen bestimmen lassen

• mit Werkzeug

• mit Befehlen

Löse[] oder Lösungen[] um eine Lösung für eine Gleichung oder ein System von Gleichungen symbolisch über den reellen Zahlen zu finden.

NLöse[] oder NLösungen[] um numerische Lösungen der angegebenen Gleichung(en) für die Variable x zu finden.

KLöse[] für Komplexe Lösungen.

Die Links verweisen auf Seite im GeoGebra-Hilfe-Wiki. Hier gibt es meist ein paar Beispiele mit Erklärungen zu den Befehlen. So zum Beispiel auch, wie man Startwerte für die Nummerische Berechnung einer Lösung einbaut, wenn die Gleichung nicht nur Polynome enthält, wie man die Variable festlegt, für die eine Lösung bestimmt werden soll oder wie man mit Gleichungssystemen mit mehreren Variablen umgeht.

Beispiel für die Anwendung: Nichtlineare Gleichungssystem

Werte in Gleichungen einsetzen

• mit dem Werkzeug

• mit dem Befehl

Ersetze[] ... Erklärungen zur Anwendung auf dem Hilfe-Wiki!

Arbeitsauftrag Schaffen Sie es, im CAS die folgenden Aufgaben zu erledigen? Geben Sie eine Funktion f(x) vor, die mehrere Extrempunkte hat. Bestimmen Sie die Stellen mit waagrechter Tangente. Bestimmen Sie die Funktionswerte für diese Stellen. Idee: Verwendet man dynamische Bezüge. so könnte man mit verschiedenen Funktionen ausprobieren, ob man eine "einfache" Lösung für Aufgaben bekommt!

Äquivalenzumformungen

Zum Lösen einer Gleichung mit Äquivalenzumformungen kann man folgendermaßen vorgehen:

• (3x+2=8)-2
• (3x=6)/3
• Ergebnis: x=2

Das geht besonders schnell, wenn man in der nächsten Zeile jeweils ein abschließende Klammer ) eingibt, wodurch die Gleichung aus der vorherigen Zeile übernommen und in Klammern gesetzt wird.

Statt der Gleichung selber kann man Zeilennamen verwenden, wie $ oder $3 oder auch den Namen einer Gleichung, wenn man ihr vorher einen Namen gegeben hat, wie etwa mit g1:3x+2=8. Das erspart viel Schreibarbeit!

Arbeitsauftrag Schauen Sie sich die beiden folgenden Beispiel an, in denen Äquivalenzumformungen genutzt werden. Auflösen von Gleichungen aus der Physik nach einer bestimmten Variable Quadratische Ergänzung zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Fallen Ihnen weitere Anwendungen ähnlicher Art ein?

Arbeitsauftrag Schauen Sie sich das Beispiel aus der Sek I an, in dem der Satz von Vieta über die pq-Formel nachvollzogen wird. Hier werden viele der Ihnen vorgestellten Funktionen und Befehle genutzt. Gibt es ähnliche Anwendungen?

Zusammenarbeit des CAS mit der Grafik-Ansicht in GeoGebra

Um eine gute Zusammenarbeit zwischen CAS und der Grafik-Ansicht zu ermöglichen, hat man sich von Seiten der Programmierer bemüht, die Anzeige durch das Sichtbarmachen über den kleinen Kreis links neben der Ein-/Ausgabe-Zeile zu erlauben. Auch wenn die Anzeige nicht automatisch erfolgt ist. Dabei wird die Eingabe meist abgeändert, um die notwendigen Eingabe zu erzeugen.

Wie schon erwähnt ist die Grundvoraussetzung, dass ein im CAS definiertes Objekt dargestellt werden kann, dass es als Objekt einen Namen bekommt und definiert ist. Das gilt vor allem für Funktionen. Wenn man deshalb gleich die Objekte bei der Eingabe benennt, kann man auch einen eigenen Namen auswählen.

Außerdem ist noch der Unterschied erwähnenswert, ob man zum Beispiel x^2 ...

• in die Eingabezeile eingibt - es wird eine Funktion <math>f(x)=x^2</math> erzeugt und der Graph im Koordinatensystem der Grafik-Ansicht angezeigt.
• in dem CAS eingibt - es wird als Term übernommen und angezeigt, aber keine Funktionsgraph dargestellt. Es verändert sich nichts, da keine Vereinfachungen vorgenommen werden können. Gleiches gilt für y=x^2.

Die Angabe eines Namens reicht aber auch nicht, wenn man eine Funktion definieren will.

• <math>f:=x^2</math> führt nicht dazu, dass ein Graph angezeigt wird. Die Variable f ist hier durch die Variable x definiert. Die Eingabe f(5) führt zur Ausgabe von <math>x^2</math>. Mit Hilfe von Ersetzen[f,{x=5}] bekomme ich aber einen Wert, nämlich 25.
• <math>f(x):=x^2</math> dagegen erzeugt eine Funktion f, die gleich im Koordinatensystem der Grafik-Ansicht angezeigt wird. Auch f(5) führt dazu, dass man den Funktionswert an der Stelle 5 berechnen bekommt.

In allen vorgenannten Fällen können die eingegebene Objekte durch Klick auf den kleinen Kreis sichtbar gemacht werden. Es findet aber immer die Anpassung an die notwendige Schreibweise statt!

Umgang mit Gleichungssystemen

Einfache Gleichungssystem mit Geraden können recht zuverlässig gelöst werden. Für die Anzeige der Geraden sollte wieder darauf geachtet werden, dass, wenn man die Geraden im CAS definiert, die Geraden Namen bekommen. Zum einen werden dadurch die Geraden gleich angezeigt und zum anderen erleichtert dies die Umformungen und Operationen damit.

Gleichungssystem lösen lassen

Nehmen wir an, wir haben zwei Geraden g1 und g2 definiert. Mit Löse[{g1,g2}] wird die Lösung für x und y angezeigt. Die geschweiften Klammern legen eine Liste fest, in diesm Fall von den Gleichungen des Gleichungssystems.

Die doppelte geschweifte Klammern bei der Lösung kommen daher, dass es bei anderen Gleichungen ja zu mehreren Lösungen kommen kann. Ein solche Lösung könnte dann so aussehen {{x=1,y=-3},{x=-5,y=2}}

• Der Befehl Schneide[] kann zuverlässig nur bei Funktionen verwendet werden. Die Anwendung des Löse[]-Befehls um bei Funktionen den Schnittpunkt zu finden ist etwas umständlicher. Er müsste Löse[{y=f(x),y=g(x)}] lauten.

Arbeitsauftrag Probieren Sie den Löse[]-Befehl für eigene Gleichungen und Funktionen aus. Wie ist die Lösung bei parallelen Geraden? Wie bei identischen Geraden?

Lösungsverfahren nachvollziehen

Einsetzungs-, Gleichsetzung,- und Substitutionsverfahren können im CAS mit Hilfe der Äquivalenzumformungen der Gleichungen nachvollzogen werden. Zusätzlich benötigt man dann aber noch den Befehl RechteSeite[] bzw. LinkeSeite[], um auf Teile einer Gleichung zugreifen zu können, um diese zum Beispiel für eine Variable einzusetzen.

Arbeitsauftrag Wenden Sie bei den gegebenen Geraden das Einsetzungverfahren an. Legen Sie die Geraden g1:3x+4=2y und g2:4x-2y=1 an. Nutzen Sie zum Einsetzen den folgenden Befehl: Ersetze[g2, 2y,LinkeSeite[g1]] Bestimmen Sie die Lösung für die übrigbleibende Gleichung (mit Löse[] oder per Äquivalenzumformung)

Arbeitsauftrag Überlegen Sie sich, wie Sie das Gleichsetzungsverfahren bei den Gleichungen g1:3x-2=2y und g2:-3x=1+4y anwenden können. (Lösungsvorschlag) TIPPs: Wenn Sie eine Gleichung umformen, können Sie ihr einen neuen Namen geben, z.B. g1'. Es können in einem Schritt auch mehrere Äquivalenzumformungen durchgeführt werden.

Arbeitsauftrag Führen Sie mit den Gleichungen g1:3x-2y=-1 und g2:-x-4y=5 das Additionsverfahren durch. (Lösungsvorschlag) TIPPs: Verwenden Sie wieder einen neuen Namen für umgeformte Gleichungen. Die Addition der angepassten Gleichungen kann man einfach mit den Namen der Gleichungen durchführen, es ist also zum Beispiel g1+g2 möglich.

Lösungen anzeigen lassen

Wenn man nun schon die Lösungen von Gleichungssystem bestimmt hat, dann möchte man diese Lösungen vielleicht auch anzeigen lassen. Dazu kann man den Kreis links an der Zeile nutzen. Das funktioniert aber leider nur zuverlässig bei einem Schnittpunkt.

Beispiel:

Bei den gegebenen Funktionen <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=-x^2+x+1</math> ergibt sich mit dem Befehl Löse[{y = f(x), y = g(x)}] die Lösung <math>\left\{ \left\{ x = 1, y = 1 \right\} , \left\{ x = -\frac{1}{2}, y = \frac{1}{4} \right\} \right\} </math>. Klickt man hier auf den leeren Kreis, so werden die zwei Punkte nicht korrekt angezeigt werden. Eventuell ist es dann sinnvoller, sich die Schnittpunkte zeichnerisch (mit dem "Schneide"-Werkzeug anzeigen zu lassen). In diesem Beispiel sind die Lösungen auch gut in der Zeichnung ablesbar, eventuell könnten es aber gerundete Werte sein.