Benutzer:B.Lachner/Einsatz-Szenarien für die Nutzung von GeoGebra

Thema

Vorraussetzung/Vorüberlegungen

Material und Durchführung

Auswertung

Warum GeoGebra hier verwenden?

Lermumgebung zum Begriff Abstand (Klasse 5/6)

Vorraussetzung/Vorüberlegungen

Der Begriff "Abstand" ist sehr alltäglich. Im Rahmen dieser Lernumgebung sollen die Schüler Abstände in verschiedenen, mathematischen, Situationen betrachten und erforschen und Abstände zwischen Punkten und Geraden , sowie Geraden und Geraden betrachten. Die Zeichnungen haben den Zweck, vordefinierte Beobachtungen machen zu können.

Auf jeder Seite gibt es eine kleine Zeichnung, mit konkreten Arbeitsaufträgen und Überlegungen, die Aufträge weiterzuführen. Die Schüler müssen sich bewusst machen, dass die Arbeitsaufträge, ihre Beobachtungen und die Anweisungen zum Weiterüberlegen, nicht nur für den Moment wichtig sind.

Datei:Merkblatt Lernumgebung Abstand.pdf Material und Durchführung

GeoGebraBook "Lernumgebung Abstand"

Alle notwendigen Anweisungen sind in der Lernumgebung zu finden. Neben einer Beschreibung des Bildes und der Möglichkeiten der Zeichnung, gibt es zuerst einen konkreten Arbeitsauftrag, der durchgeführt werden soll. Dann soll jeweils anhand dieser Zeichnung weitergedacht werden. Meist geht es um eine Verallgemeinerung.

Auch wenn es auf der Seiteseite der Lernumgebung erwähnt wird, sollte es noch einmal klar Schüler klargemacht werden, dass sie für jede Seite, die eine GeoGebra-Zeichnung enthält, sich Notizen zu Beobachtungen aus den Arbeitsaufträgen und den folgenden Überlegungen festhalten sollen. Dies kann auf einem Schmierzettel geschehen.

Auswertung

Die Notizen haben den Zweck, dass die Schüler sich an die Tätigkeiten und Beobachtungen erinnern. Am besten wäre es, wenn man eine Doppelstunde zur Verfügung hat.

Zur Auswertung und zum Merken der Beobachtungen wird ein Arbeitsblatt ausgeteilt, dass speziell die möglichen Tätigkeiten und Aufträge, die später wichtig sind, auflistet. Die Schüler sollen sich quasi selber eine Anweisung festhalten, was man wie einzeichnen muss, um zum Beispiel den Abstand eines Punktes zu einer Gerade zu bestimmen.

Die vorgegebene Zeichnung bietet die Möglichkeit, dies noch einmal zeichnerisch durchzuführen und dann die Anweisung zu notieren.

Das Arbeitsblatt soll behalten werden, um später diese Informationen dort nachschlagen zu können.

AUSWERTUNG: Notizen festhalten, Vorbereitetes Arbeitsblatt ausfüllen.

Warum GeoGebra hier verwenden?

GeoGebra bietet die Möglichkeit herumzuprobieren und zu testen. Dies könnte auch gemeinsam an der Tafel/am Beamer besprochen werden, aber so kann jeder Schüler sich die Zeit lassen, die er haben will und auch alternative Lösungen ausprobieren. Oder gar andere Entdeckungen machen, als geplant sind. Durch die enge Führung sollten die Schüler trotzdem zum gleichen Ziel kommen.

Zeichnerische Optimierung am Beispiel von Bienen

Vorraussetzung/Vorüberlegungen

In Klasse 7 werden die Abbildungsverfahren wiederholt und etwas theoretischer betrachtet. So kommen neben der Durchführung noch Überlegungen rund um die Kongruenz dazu. In diesem Zusammenhang kann man Abbildungen nutzen, um bestimmte Konstruktionen durchzuführen. Dazu gehört auch die Bestimmung der kürzesten Strecke mit Hilfe der Spiegelung, aber auch Aufgaben rund um Billiard mit Ein- und Ausfallwinkel.

Die beschriebenen Aufgaben haben alle das gleich Ziel, nämlich die Flugstrecke einer Biene zurück zu ihrem Bienenstock möglich kurz zu halten. Dabei gibt es verschiedene Varianten und Anordnungen von Ausgangsposition, Trinkstelle an einem Fluss (Gerade) und dem Ziel (Bienestock).

Datei:ARBEITSBLATT Bienenproblem KOMPLETT.pdf Material und Durchführung

Die Schüler erhalten eine Datei:ARBEITSBLATT Bienenproblem KOMPLETT.pdf, dass verschiedene Situationen vorgibt. Eventuell wäre es sinnvoll, nur die erste Seite auszugeben, die Schüler nicht zu schnell und nach Gefühl einzeichnen.

Bei den ersten beiden Zeichnungen sind die Lösungen für die optimale Trinkstelle recht schnell zu finden. Die Begründungen sind recht einfach und werden durch die Schüler schnell gefunden. Dies sollte man ohne PC/Tablet durchführen lassen und in der Klasse gemeinsam besprechen. Dabei kann man wichtige Begriffe und ihre Bedeutung noch einmal wiederholen.

TIPP: Damit die Tatstaur auf dem Tablet das Browser-Fenster nicht zu weit überdeckt, kann man die Tastatur so umstellen, dass sie kleiner über dem Browser-Fenster schwebt. Dies macht die Eingabe einfacher, da man immer noch sieht, wo man was eingeben muss.

Auch bei der dritten Variante ist die Begründung recht einfach. Im den [https://www.geogebra.org/m/xrmusrc6 GeoGebra-Buch "Bieneschule"], auf der ersten Seite lernen die Schüler, wie man GeoGebra bedient und die Gesamtstrecke für den Flug anzeigen lassen kann. Die Schüler können sich so versichern, dass ihre Lösung, die sie schon vorher gefunden haben, auch wirklich richtig ist. Dies dient vor allem der Vorbereitung für die nächsten Problemfälle.

Für die vierte Aufgabe, auf Seite 2, wird nun eine entsprechende Zeichnung zur Verfügung und die Schüler sollen verstanden haben, wie sie durch Probieren herausfinden können, wo die optimale Trinkstelle liegen muss. Dazu wird als weiteres Werkzeug, die Möglichkeit angeboten spiegeln zu können. Die Schüler sollen dies nutzen und versuchen, eine Spiegelung im Zusammenhang mit der optimalen Trinkstelle zu bringen.

Die fünfte Aufgaben ist durch Probieren schwer zu finden. Schüler, die die Situation vier schnell gezeichnet haben, können probieren oder auch die gefundene Konstruktion hier versuchen anzuwenden.

Der Lehrer sollte, wenn die meisten Schüler mit der GeoGebra-Buch-Seite zu Zeichnung vier fertig sind, dies besprechen und vor allem begründen lassen, warum man mit Hilfe der Spiegelung die optimalen Trinkstelle findet.

Die fünfte Zeichnung soll dann wieder von den Schülern alleine/in Zweiergruppe durchgeführt werden. Die Lösung kann kontrolliert werden, indem man die Strecke vorgibt.

Die zwei folgenden GeoGebra-Apps stellen eine Erweiterung dar und die Schüler können die vorher benutzt Begrüdnung, dass beim Spiegeln die Strecken gleich lang sind, nun auf die Winkel übertragen.

Auswertung

Die Auswertung der Experimente geschieht auf dem Arbeitsblatt, indem der Schüler zum einen die Konstruktion festhält, am besten auch mit einer Beschriftung, so dass erkennbar ist, welche Schritte man vornehmen muss.

Außerdem soll begründet werden, warum diese Konstruktion zum kurzesten Weg führt.

AUSWERTUNG: auf vorbereitetem Arbeitsblatt Zeichnung nach Versuchen aus GeoGebra einzeichnen, Begründungen festhalten

Warum GeoGebra hier verwenden?

GeoGebra kann hier sinnvoll eingesetzt werden, weil es das Probieren ermöglicht und gleizeitig getestet werden kann, ob die konstruierte Lösung auch die kürzeste ist.

Stellt man die Anzeige der Algebra-Ansicht so um, dass die kontruierten Figuren beschrieben werden, so kann der Schüler seine eigenen Zeichnungen auch kontrollieren, ob zum Beispiel der richtige Punkt verwendet wurde. Würde man in der Algebra-Ansicht die Gleichungen, Koordinaten oder Längen anzeigen lassen, so ist das nicht direkt sichtbar. Danke der Verwendung von sprechenden Bezeichnungen für die Punkte und Geraden, ergibt sich sich eine optimale Möglichkeit für den Schüler, die von ihm selber gezeichneten Elemente zu erkennen und zu verstehen.

Bestimmung der Höhe in einem Dreieck

Vorraussetzung/Vorüberlegungen

Ganz klar: Für die Bestimmung der Fläche eines Dreiecks sollte die notwendigen Messungen und das Einzeichnen der Höhe nicht in GeoGebra durchführen lassen. Zumindest nicht mehrfach. Die Schüler müssen lernen, wie man die Höhe einzeichnet und sich vorher festlegen, welche Seite man als Grundseite verwendet. Dies ist eine zeichnerische Tätigkeit, die man üben muss.

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Einige Schüler verstehen aber nicht, wie man die Höhe einzeichnet. Es macht hier keinen Sinn viele Übungen durchzuführen, wo Dreicke vorgegeben sind und der Schüler dazu die Flächen bestimmen muss. Da schon Probleme beim Einzeichenen der Höhen vorhanden sind, wird das Ergebnis meist falsch sein. Das hilft aber nicht unbedingt, beim Erlernen des richtigen Einzeichnens der Höhe. Daher sollte dies getrennt geübt werden.

Ein Möglichkeit wäre, mit Dreiecksmodellen zum Anfassen zu klären, was Grundseite und Höhe bedeutet. Aus Moosgummi und mit einem Skalpell können schnell einige Figuren ausgeschnitten werden (siehe Bild rechts). Das sollte man als Lehrer mit einem Schüler, der Probleme beim Einzeichnen der Höhe hat, ein paar Mal durchführen und eventuell dann einen Nachbarn beautragen, dieses öfters mit dem Schüler noch einmal zu üben.

Damit der Schüler diese Teiltätigkeit auch alleine festigen kann, gibt es zwei GeoGebra-Zeichnungen, die speziell nur das richtige Einzeichnen der Höhe üben. Dies kann gut automatisch kontrolliert werden und der Schüler kann bei einem Fehler erkennen, was die richtige Lösung wäre. Mit ausreichend vielen Übungen und gutem Willen, sollte dann klappen.

Material und Durchführung

Es stehen zwei Apps zur Verfügung:

• Kannst du die Höhe richtig einzeichnen? ... hier werden per Zufall Dreieck erzeugt, die Grundseite wird festgelegt und die Höhenlinie am richtigen Punkt begonnen, der Fußpunkt wird aber per Zufall auf die gegenüberliegende Seite platziert.
• Kannst du die Höhe richtig einzeichnen? - Variante 2 ... der Unterschied zum ersten Arbeitsblatt ist, dass zwar die Grundseite vorgeben ist, die Höhe aber absolut frei platziert werden kann. Das heißt, die Schüler müssen überlegen, wo der Punkt ist, von dem man aus zeichnet und wohin der Fußpunkt der Höhe muss.

Auswertung

Das Hauptziel ist, dass der Schüler ein Gefühl dafür bekommt, wie er die Höhe einzuzeichnen hat. Natürlich kann man eine Regel ausformulieren und abschreiben lassen. Allerdings ist das Prinzip so trivial, dass man das meist nicht macht.

Effektiv wäre es, wenn der Schüler sich Screenshot von verschiedenen Situationen/Lagen von Dreiecken merkt, und diese entweder ausdruckt oder abzeichnet. Zu diesem Situationen sollte dann eine Erklärung notiert werden, wie man beim Zeichnen der Höhe vorzugehen hat.

Denkbar wäre auch, dass der Schüler falsche Lösungen notiert und an diesen erklärt, was er falsch gemacht und gedacht hat.

AUSWERTUNG: Keine Auswertung weil Übung einer bestimmten Fertigkeit, eventuell Problemfälle notieren und Anleitung für diese Problemfälle notieren

Warum GeoGebra hier verwenden?

Vorteil ist hier vor allem, dass der Schüler alleine und beliebig viel üben kann. Er kann dies jederzeit und ohne Lehrer/Mitschüler durchführen. Es wird sofort gezeigt, wo der Fehler ist und die richtige Lösung angezeigt.

Man könnte den Schüler auch Arbeitsblätter mit Dreiecken vorgeben, die viele Dreiecke in verschiedenen Lagen enthalten. Die Korrektur könnte über eine Folie geschehen. Allerdings muss der Schüler die Qualität seiner Zeichnung selber beurteilen, schätzt den Fehler vielleicht nicht so groß ein. Es kann außerdem beim Auflegen der Folie ein Fehler gewacht werden.

Der Nachteil ist, dass das Einzeichnen immer noch möglichst genau geschehen muss. Das heißt, wenn der Schüler anhand, zum Beispiel, eines Screenshots nachweisen kann, dass er geübt hat und die Höhen theoretisch richtig einzechnen kann, dies noch einmal auf einem Blatt gezeigt werden sollte. Es würde vielleicht reichen, erst einmal die Grundseite und die dazugehörige Höhe einzuzeichnen und dann diese Strecken zu messen und so die Flächen zu bestimmen.

Wie bestimme ich den Flächeninhalt bei dieser Figur?

Vorraussetzung/Vorüberlegungen

Wenn in Klasse 8 die Bestimmung der Flächeninhalte bei Drei- und Vierecken behandelt wurde, macht es Sinn, alle Formeln und Typen zu mischen. Die Schüler müssen die Art der Forgut erkennen und wissen, welche Strecken sie messen müssen, um die Fläche berechnen zu können.

Da die automatisierte Kontrolle einer Lösung einer zufällig erzeugen Figur zwar möglich wäre, es aber so verschiedene Fehler gibt, kann der Schüler nur feststellen, ob er die Fläche richtig berechnet hat oder nicht. Wo der Fehler ist, wäre schwer nachvollziehbar, zumal es ja mehrere Möglichkeiten zur Bestimmung gibt.

Material und Durchführung

In einer Zweiergruppe (notfalls auch zu dritt) rufen die Schüler das Material auf (Link über moodle zum Beispiel?) am Smartphone oder Tablet, öffnen die App in Vollbild und lassen sich eine zufällig erzeugte Figur anzeigen.

Arbeitsauftrag: Nehmt euch abwechselnd eine Figur vor, stellt fest um welche Art von Figur es sich handelt (Dreieck, ein spezielles Viereck), gebt die Strecken an, die man benötigt und zeigt mögliche Varianten. Was muss man beim Einzeichnen von bestimmten Strecken beachten? (Höhe muss senkrecht auf welche Seiten stehen und durch welchen Punkt gehen.

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Die Anleitung muss nicht schriftlich geschehen. Denkbar wäre es, wenn man die App über den Beamer zeigt und ein oder zwei Beispiele mit den Schülern bespricht.

Wichtig ist, dass die Schüler beachten, dass sie nicht zu laut sprechen dürfen, da ja die Hälfte der Schüler etwas sagen muss. Es wird eine feste Zeit vorgegeben, so dass jeder Schüler einige der Figuren besprechen muss bzw. der Lehrer beobachtet die Klasse und entscheidet, wie lange die Bearbeitung sinnvoll.

Die Schüler können zu Hause, für sich oder einem Familienmitglied, weitere Figuren erklären. Wichtig ist dabei das Formulieren der Dinge, die gemessen werden müssen. Ein Familienmitglied könnte bei ungenauen Formulierungen nachfragen.

Auswertung

Da es sich hier um den Abschluss der Reihe handelt, muss nicht zwingend etwas notiert werden.

Denkbar wäre es, wenn die Schüler sich über einen Screenshot kritische Figuren merken, ausdrucken oder abzeichnen und einen Grund für die Probleme besprechen.

AUSWERTUNG: Keine Auswertung weil Abschluss-Übung, eventuell Problemfälle notieren und Hinweise für diese Problemfälle notieren

Umkreis eines Dreiecks entdecken

Vorraussetzung/Vorüberlegungen Ziel ist, dass die Schüler die Konstruktion des Umkreises verstehen.

Man könnte hier das Gegenbeispiel ansprechen, dass im GeoGebra-Book im vorrangehenden Arbeitsblatt gezeigt wird und warum das nicht so gut ist.

Material und Durchführung https://www.geogebra.org/m/N2nk7xcv#material/P2GXdGN2

Auswertung

1. Die Schüler sollen den Umkreis konstruieren können
2. Sie sollen verstanden haben, was dahinter steckt.

Als erste könnte durch eine Konstruktionsanweisung festgehalten werden. Das zweite ist schwerer zu überprüfen. Wie wäre es mit einem Multiple-Choice-Test, der die einzelnen Schritte in der Zeichnung genauer betrachtet und Fragen zu den möglichen Beobachtungen stellt? Durch kleinschrittige Abfragen und auch Kontrollfragen (was ist das für ein Punkt, der da rot eingezeichnet wird?) sowie ausführliche Kommentare bei richtigen und erst recht bei falschen Antworten, sollte der Schüler die Konstruktion verstehen. Nach dem MC-Test könnte es Aufträge zum Aufschreiben der Erkenntnisse geben.

AUSWERTUNG: Verständnis-Abfrage über die Schritte in der Zeichnung mit Hilfe von einem Quiz, Festhalten der Konstruktionsschritte

Warum GeoGebra hier verwenden? Im Prinzip ist die weiche Konstruktion auch händisch durchführbar. Durch die eingezeichneten Spurpunkte, die nur sichtbar sind, wenn die Zeichnung stimmt, geht die Untersuchung schneller.

Fläche von einem Kreis annähern

Vorraussetzung/Vorüberlegungen Üblicherweise wird in Klasse 8 die Flächenberechnung von verschiedenen Vierecken und Dreiecken behandelt. Es folgt dann die Berechnung von Kreisflächen, bei denen man keine der bisherigen Methoden nutzen kann. Dies kann man auch mit den Schülern besprechen, nachdem sie versucht haben, eine Möglichkeit zur Bestimmung des Kreisinhaltes selber zu finden

Vor der Flächenberechnung erfolgt die Bestimmung des Kreisumfangs, was man zum Beispiel über Messungen mit dem Vergleich von Durchmesser und Umfang beginnen kann, um so die Zahl Pi einzuführen.

Statt die Formel für die Berechnung der Fläche einfach vorzugeben, könnte man die Schüler einige Beispiele für die Annäherung des Flächeninhaltes mit GeoGebra untersuchen lassen. Man könnte folgendermaßen vorgehen:

• Die Schüler werden in Gruppen aufgeteilt (eventuell zwei Gruppen je Annäherungsmethode).
• Jede Schülergruppe untersucht ihre GeoGebra-Datei mit der Animation und versuchen sie zu verstehen und nachzuvoll ziehen.
• Sie bereiten eine Präsentation (wie auch immer) vor, um den Mitschülern ihre Methode zur Näherungsweisen Bestimmung der Kreisfläche

Material und Durchführung

• Kreisfläche durch Auffalten bestimmen
• Fläche eines Kreises (durch Schälen!)
• Monte-Carlo-Methode am Vollkreis

Auswertung Die Auswertung der GeoGebra-Zeichnungen geschieht im Grund genommen bereits in den Gruppen. Für die Schüler, die eines der Zeichnungen betrachten sollte man (vor allem bei schwächeren Schülern) Anweisungen geben, wie denen die jeweilige Zeichnung betrachtet und benutzt werden soll. Dabei geht es vor allem darum, das die Schüler verstehen müssen ...

• ... warum man auf diese Weise die Fläche eines Kreises annähern kann.
• ... warum diese Methode nicht so genau ist.
• ... wie nun ungefähr die Fläche des Kreises ist. Dazu muss mit einigen Formeln dies rechnerisch erklärt werden.

AUSWERTUNG: dargestellte Methode verstehen, damit man sie anderen vortragen kann

Warum GeoGebra hier verwenden? GeoGebra hat hier verschiedene Bedeutungen:

• Zum einen bietet es die Möglichkeit für "mathematisch" definierte Animationen, die verhältnismäßig einfach umzusetzen sind.
• Die die Erzeugung von Zufallszahlen, und das wesentlich schneller als wenn man es von "Hand" machen würde
• In einer Animation gibt man die Schritte nacheinander vor und kann so die Animation zum Teil steuern.

Beweis für den Satz von Pythagoras

Vorraussetzung/Vorüberlegungen Der Satz des Pythagoras ist ein Klassiker, wenn es um die Nutzung von interaktiven Geometrie-Programmen geht. Man kann die Konstruktion interaktiv umsetzen und, wenn man die Werte nicht zu genau berechnet, zeigen, dass der Satz rechnerisch gilt. Gründe für die ungenaue Werte ergeben sich aus Rundungsfehlern. Natürlich sollte man eine solche interaktive Zeichnung immer mit einbauen, wenn man den Satz des Pythagoras im Unterricht behandelt. Es reicht aber, dies in einem Lehrer-geführten Gespräch zu erledigen.

Auch die geometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras sind zahlreich und viele sind schon in GeoGebra umgesetzt worden. Man findet im Material-Bereich viele, mehr oder weniger gute, Umsetzungen. Diese Beweise zu verstehen setzen voraus, das gute Kenntnisse in geometrischen Zusammenhängen bestehen, die dabei genutzt werden. Schüler werden von sich aus vermutlich selten den Beweis verstehen, der da in GeoGebra vorgestellt wird. Daher ist die Betrachtung eines Beweises auch eher für bessere Schüler sinnvoll. Alternativ kann man schwächere Schüler eine einfachere Aufgabe geben, bei der darum geht, vorgegebene Informationen zu einer Zeichnung zuzuordnen. Abhängig von der Wahl des Beweises sind die Begründungen verschieden kompliziert. Differenzieren kann man auch, indem man beim Umlegen von Flächen zum Beispiel erklären lässt, warum eine Fläche an eine bestimmte Fläche passt. Dies könnte man für schwächere Schüler vorgeben und sie müssen es nur an der richtige Stelle zuordnen.

(Eine) Idee: Die Schritte, die der Beweis enthält werden vorgegeben, die Schüler müssen erkennen, wann welcher Schritt durchgeführt wird.

Material und Durchführung

• GeoGebra-Buch mit einigen Beweisen

Zwei Beispiele: Umlegen durch Scherung und Noch ein Beweis durch Umlegen

• Quizze zu den zwei Beispielen? FEHLEN NOCH

Auswertung Vereinfacht könnte man den Beweis des Satzes abschließen, indem Schüler den von Ihnen behandelten Beweis, vielleicht auch mit Hilfe der zugeordneten Schritten aus dem Quiz, anderen vorstellen. Bei einigen Beweisen sollte dass auch ohne viel Aufwand und Vorbereitung machbar sein. Die Vorstellung könnte vor der Klasse geschehen oder man macht dies jeweils in Gruppen, wo sich die Schüler gegenseitig "ihren" Beweis vorstellen.

Für einige Beweise sind eventuell mehr Notizen notwendig. Die Schüler könnten den Beweis auch zeichnerisch im Heft festhalten. Dazu müssten sie die vorgegebene Zeichnung mit dem rechtwinkligen Dreieck mehrfach ins Heft zeichnen und für jeden Schritt die wichtigen Objekte entsprechen einzeichnen und den Text dazu notieren. Egal welchen Beweis man verwendet: man könnte den Schülern die Arbeit erleichtern, indem man man leere Zeichnungen vorgibt, so dass sie sich nur die passenden Vorlage nehmen und etwas hinein zeichnen müssen.

Bedenken sollte man bei den Beweisen, dass wichtig für die Möglichkeit der Umlagerung von Flächenteilen immer der passende Winkel ist. Das sollte, bei Bedarf passend zu Beweis noch einmal geklärt werden und kann auch Teil des Beweises sein, vor allem wenn ein Schüler sehr gut und schnell arbeitet.

AUSWERTUNG: Vorstellen eines Beweises. Hilfe und Kontrolle des Verständnisses über interaktive Quizze

Warum GeoGebra hier verwenden? Hier spielt vor allem eine Rolle, dass man in GeoGebra sehr gut mathematisch festgelegte Objekte zeichnen und animieren kann. Dazu wird meist auch die bedingte Sichtbarkeit genutzt.

Verdeutlichung für den den Satz des Thales

Vorraussetzung/Vorüberlegungen Der Satz von Thales ist verhältnismäßig und lässt sich leicht lernen. Schwierigkeiten haben die Schüler eher später, wenn sie sich daran erinnern müssen, wie man einen rechten Winkel konstruieren kann.

Wichtig ist in diesem Zusammenhang auch, die Gültigkeit von Aussagen in beide Richtungen zu überprüfen.

• Wenn Punkt auf Kreis dann rechter Winkel
• Wenn rechter Winkel, dann Punkt auf Kreis

Idee könnte sein, nicht nur den Satz von Thales zu betrachten sondern auch zu zeigen, das eine solche Regel nicht für beliebige andere Linien gleichfalls gilt.

Material und Durchführung

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Mögliche Arbeitsaufträge in kleinen Gruppen mit zwei bis drei Schülern bearbeitet werden sollten:

• Finde allgemein-gültige Aussagen über den Winkel im Dreieck, wenn sich der Punkt auf einen der Linien bewegt.
• Versuche weitere Stellen zu finden, bei denen der Winkel die gleiche Eigenschaft hat, wie vorher für eine Linie festgestellt.
• Versuche jeweils einen Satz zu formulieren:
  • "Für alle Punkte, die auf ... liegen gilt für den Winkel ..."
  • "Einen Winkel von .... hat man nur, wenn der Punkt ..."

Auswertung Die Hauptarbeit ist die Untersuchung von allgemein-gültigen Aussagen, danach wäre eine Besprechung mit der Klasse sinnvoll und das Festhalten des "Satz von Thales".

AUSWERTUNG: Notieren von Beobachtungen entsprechend der Anweisungen und mit Hilfe vor unvollständigen Sätzen, die vervollständigt werden müssen

Warum GeoGebra hier verwenden?

• GeoGebra wird hier als interaktives Geometrie-Programm genutzt.

Winkelsätze entdecken

Vorraussetzung/Vorüberlegungen In Klasse 7 ist die Betrachtung der Winkelsätze eines der wichtigen Themen, die eine durchaus große Bedeutung für viele weitere Geometrie-Themen haben, da die Winkelgleichheit Voraussetzung für viele Beweise ist. Im Gegensatz zum Buch kann GeoGebra die Winkelsätze auch dynamisch zeigen.

Wichtig für die Begründungen der Winkelgleichheit oder -summen bei den Winkelsätzen ist eigentlich immer, dass man die betrachteten Winkel aufeinander abbilden kann. In Klasse 7 sollte die Winkelgleichheit bei Abbildungen im Rahmen von Kongruenz-Beachtungen behandelt worden sein.

Die Vorstellung eines einzelnen Satzes mit anschließenden Übungen finde ich persönlich etwas langweilig. Daher würde ich immer einige ähnliche Sätze auf einmal einführen und dann gleich gemischte Übungen dazu durchführen lassen. Denn einen einzelnen Satz anzuwenden ist meist einfach. Schwieriger ist es, den passenden herauszusuchen.

Material und Durchführung

• GeoGebra-Book-Kapitel mit vielen Zeichnungen zu dem Thema
• Arbeitsblatt (PDF- und ODT-Version)
• Folien zur Besprechung der Winkelsätze (PDF- und ODT-Version)

Die Schüler arbeiten am PC alleine oder in Zweiergruppen an den vorgegebenen GeoGebra-Zeichnungen, mit dem Arbeitsblatt und den vorgegebenen Anweisungen. Evenutell sollte ein Beispiel gemeinsam vorher besprochen werden, damit die Schüler wissen, wie man vorzugehen hat.

Auswertung Die Auswertung geschieht, indem die Schüler Notizen zu den Winkelsätzen, entsprechend der Anleitungen, auf dem Arbeitsblatt festhalten. Nach der Bearbeitung können die Sätze über eine Folie (OHP oder Beamer) besprochen und verglichen werden. Dies könnte durch Schüler vorgestellt werden. Denkbar wäre auch eine Zwischenstufe, seine Ergebnisse dem Nachbarn/der Nachbargruppe vorzustellen, um auch das Vortragen zu üben.

Die Begründung, warum es einen bestimmten Zusammenhang zwischen zwei Winkeln gibt, konnte auf verschiedenen Wegen geschehen, je nach Leistungsfähigkeit.

• Ohne konkrete Hilfe aber mit Hinweis auf Abbildungen, die man nutzen kann.
• Spezielle Zeichnungen geben Hinweise auf den Beweis (z.B. für Stufen-/Wechsel-Winkel)
• Es werden Formulierungen vorgegeben, die man auch mehrfach verwenden kann, die dann passend herausgesucht werden müssen.

AUSWERTUNG: Formulierung von allgemein gültigen Regeln auf einen vorbereiteten AB.

Warum GeoGebra hier verwenden?

• Im Gegensatz zum Buch bietet GeoGebra nicht nur ein Beispiel je Satz sondern man kann einen Zusammenhang in verschiedenen Möglichkeiten ausprobieren. Hier wird GeoGebra als interatkives Geometrie-Programm genutzt.
• Beim Stufen-/Wechsel-Winkel können alle möglichen Kombinationen gezeigt werden, statt meist nur ein Beispiel.
• Die Beweise können durch bedingte Sichtbarkeit einzelne Beweisschritte zeigen.