GeoGebra für Anfänger II b

Mit Vollgas in die Differentialrechnung

Der Arbeitskreis MSS ("Mainzer Studienstufe") der Universität Koblenz-Landau entwickelt Konzepte für die Oberstufenmathematik in Rheinland-Pfalz. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine Unterrichtseinheit unter dem Titel Mit Vollgas in die Differentialrechnung für den Einstieg in die Differentialrechnung entwickelt.

Unser Workshop beschäftigt sich damit, wie GeoGebra-Dateien, die diese Unterrichtsreihe unterstützend begleiten entwickelt werden können.

Aus Messreihen werden Graphen

1. Eigene Messreihen aufnehmen

Die Daten der ursprünglichen Unterrichtsreihe sind zwar realitätsnah jedoch nicht verifizierbar. Es entstand die Wunsch, reelle Messdaten aufzunehmen und diese zu untersuchen. In der neuen Aufgabenstellung ist ein Ausschnitt eines Autofahrts von Speyer nach Landau mit der Fragestellung "Hat die Fahrerin, Frau Rasante die Geschwindigkeitsbegrenzung von 80km/h überschritten?" gegeben.

Die in diesem Workshop vorgestellten Daten wurden mit einem iPhone und der Software "GPSSpeedHD" aufgenommen. Die Software liefert nach der Aufnahme eine csv-Datei über die Messwerte, einen Kartenausschnitt und zwei Diagramme: Weg-Zeit und Geschwindigkeit-Zeit. Die Diagramme sind nur grob gezeichnet, sodass das erstellen einen eigenen Funktionsgraphen unumgänglich ist.

Da mit Tabellenkalkulationsprogrammen csv-Formate problemlos geöffnet und bearbeitet werden können, ist es sinnvoll die Vorbereitungen mit einem solchen Programm durchzuführen, bevor die Daten in GeoGebra übertragen werden:

• Löschen Sie alle nicht benötigten Angaben.
• Berechnen Sie alle benötigten Angaben (z.B. Zeit anstatt Uhrzeit).
• Falls Dezimalzahlen vorhanden sind: Ersetzen Sie alle Kommas durch Dezimalpunkte (Funktion "Suchen und Ersetzen" oder die Sprache des Dokumentes auf Englisch umstellen).

Unsere vorbereitete Messreihe können Sie in xls-Format hier herunterladen.

Heutzutage besitzen viele Lehrer und Schüler Smartphones mit GPS-Empfänger. Für alle Systeme gibt es Programme, mit denen die GPS-Koordinaten der Bewegungen aufgezeichnet werden können. Wie dies konkret gemacht wird, hängt vom jeweiligen Gerät bzw. Software ab. Eine mögliche Vorgehensweise wird in einer vom Klett-Verlag freigegebene Kopiervorlage beschrieben.

2. Von der Messreihe zur Tabelle

Öffnen Sie die vorbereitete Tabelle und GeoGebra.

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
1	Tabellenansicht in GeoGebra öffnen.	Menüleiste Ansicht	Auf "Tabelle" klicken.
2	Daten aus der Tabellenkalkulation in die Tabellenansicht von GeoGebra kopieren (s. Bild rechts)		Markieren / Kopieren / Einsetzen

3. Von der Tabelle zum Graph

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
3	Punkte in die Grafikansicht übertragen	Tabellen-Ansicht	Markieren Sie die Spalten Zeit und Entfernung (ohne die Spaltenbeschriftungen) und klicken Sie mit der rechten Maustaste in den markierten Bereich. Wählen Sie: Erzeugen / Liste von Punkten Im Algebra-Ansicht sehen Sie nun eine Liste(Liste1) mit den Zahlenpaaren der Zuordnung Zeit → Weg und im Grafik-Ansicht sind die dazu passenden Punkte erschienen.
4	Regressionskurve erstellen	Eingabeziele	Tippen Sie: TrendPoly[Liste1, <Grad des Polynoms> ] ; ersetzen Sie dabei <Grad des Polynoms> mit einer Zahl Ihrer Wahl. Experimentieren Sie mit unterschiedlichen Polynom-Graden, bis das Ergebnis zufriedenstellend ist.

Sie können die Tabellenansicht schließen, sie wird nicht mehr benötigt. Aus der Algebra-Ansicht kann die Funktionsgleichung entnommen werden - vorher müssen Sie ggf. die Anzeige der Dezimalstellen erweitern: Menüleiste / Einstellungen / Runden.

Speichern Sie - spätestens jetzt - Ihre Datei unter dem Namen "FrauRasante-Graph"

Für Nummeriker: Der Funktionswert-Rechner

Beim Arbeiten mit Numerischen Werten brauchen die Schüler viele, immer genauere Messwerte. Der Graph der Funktion soll jedoch nicht angegeben werden.

Arbeiten Sie mit Ihrem vorigen Datei weiter.

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
1	Objekte Ausblenden: Blenden Sie alle Punkte und den Funktionsgraph aus.	Algebra-Ansicht	Klicken Sie auf dem blauen Punkt vor dem Objekt - er wird weiß und das Objekt ist ausgeblendet. Sie können auch mehrere Objekte (z.B. alle Punkte) auf einmal markieren und ausblenden.
2	Neue Zahl "xWert" erzeugen	Eingabezeile	Tippen Sie xWert=3 in die Eingabezeile
2	y-Wert berechnen	Eingabezeile	Tippen Sie yWert=f(xWert)
3	Eingabefeld für den x-Wert erstellen	Werkzeugleiste Werkzeug Eingabefeld	Klicken Sie erst auf das Werkzeug, dann auf eine beliebige stelle des Grafik-Ansicht. Geben Sie als Beschriftung "Zeit in Sekunden: " ein und wählen Sie als "Verbundenes Objekt" aus der Liste "xWert" aus. Probieren Sie aus, was passiert, wenn Sie in das Feld eine Zahl eingeben. Achten Sie besonders auf die Zahl xWert im Grafik-Ansicht.
4	Funktionswert anzeigen lassen	Werkzeugleiste Werkzeug	Klicken Sie erst auf das Werkzeug, dann auf eine beliebige Stelle des Grafik-Ansicht. Geben Sie im nächsten Fenster "Entfernung = " und wählen Sie aus der Liste der Objekte "yWert" aus.
5	Objekte platzieren und Formatieren	Grafik-Ansicht	Verschieben Sie ggf. das Eingabefeld und das Textfeld auf eine geeignete Stelle des Fensters. Stellen Sie Größe und Farbe wie gewünscht ein. Blenden Sie nicht benötigte Ansichten (z.B. die Grafik-Ansicht) und Objekte (z.B. Koordinatensystem und Gitternetz) aus. Speichern Sie Ihre Datei unter dem Namen "FrauRasanteRechner"

Animationen unterstützen Verstehensprozesse

1. GeoGebra-Applet zur Aufgabe

Da die Erstellung dieses Applets etwas für Fortgeschrittene GeoGebra-Benutzer ist, wird das Applet hier nur vorgestellt, ohne ihre Konstruktion zu beschreiben.

Diese Datei bietet viele Optionen:

• Während das Auto fährt, kann die Geschwindigkeitsanzeige des Autos beobachtet werden und
• gleichzeitig wird der Graph der Weg-Zeit-Funktion gezeichnet.
• Die Animation kann gestartet, jeder Zeit gestoppt und dann (von hier aus) wieder gestartet werden.
• Die aktuelle Tangente für die Momentangeschwindigkeit kann ein- oder ausgeblendet werden.

2. Eine kreative Schülerlösung zur Prorsche-Aufgabe

Obwohl die hier vorgestellte Übung von Schülern des Kaiserdom-Gymnasiums in Speyer vorgeschlagen wurde, können Schülerinnen und Schüler die Vorgehensweise nicht immer nachvollziehen. Als Hilfestellung kann eine Vorstellungsübung dienen:

Vorstellungsübung:

Setzen Sie sich bequem hin und schließen Sie Ihre Augen.

Stellen Sie sich vor:

Sie sitzen in einem Porsche an der Linie und warten auf das Starteichen.

In dem Moment des Startzeichens passieren zwei Sachen:

1. Eine zweite Porsche mit konstanter Geschwindigkeit (100km/h) passiert die Startlinie und fährt mit unveränderter Geschwindigkeit weiter.

2. Sie treten mit voller Kraft auf das Gaspedal und beschleunigen mit voller kraft.

Beobachten Sie das andere Auto. Was sehen Sie? Wann fahren Sie mit der gleichen Geschwindigkeit, wie das andere Auto?

Erfahrungen

Viele Schülerinnen und Schüler haben ohne diese Vorstellungsübung Probleme, die Situation einzuschätzen. Auch nach der Durchführung der Vorstellungsübung stoßen wir auf Unverständnis oder bekommen falsche Antworten. Um auch die letzte Fehlvorstellung auszuräumen (und die richtige Vorstellungen unterstützen) kann diese Datei betrachtet werden.

Anleitung zur Erstellung der Datei

Für die Erstellung brauchen Sie die Bilder von zwei Autos, die Sie hier herunterladen können:

Porsche gelb

Porsche rot

Schritt	Was ?	Wo?	Wie?
1	Vorbereitung		Öffnen Sie GeoGebra. Die Algebra- und die Grafik-Ansicht wird benötigt. verschieben Sie das Koordinatensystem so, dass -10 ≤ x ≤ 360. Die y-Achse soll ihre skalierung behalten und ca. in der Mitte des Fensters verlaufen.
2	Schieberegler t für die Zeit	Werkzeugleiste	Klicken Sie erst auf das Werkzeug, dann auf eine beliebige Stelle des Grafik-Ansicht. Der Schieberegler soll den Intervall [0,12] abdecken und eine Schrittweite von 0.05 haben.
3	1. Führungspunkt A für das rote Auto anlegen	Eingabezeile	0) (weil 27,7m/s=100km/h) Verändern Sie den Wert von t und beobachten Sie, wie der Punkt A entlang der x-Achse wandert.
4	2. Führungspunkt B für das rote Auto anlegen	Eingabezeile	B=(x(A)-10,0))
5	3. Führungspunkt C für das rote Auto anlegen	Eingabezeile	C=(x(B), y(B) + 0.5) Verändern Sie den Wert von t und beobachten Sie, wie die Punkte A, B und C entlang der x-Achse wandern.
6	Bild (rotes Auto) einfügen	Werkzeugleiste	Kicken Sie erst auf das Werkzeug, dann auf Punkt B. Nun werden Sie aufgefordert das Bild anzugeben. Fahren Sie sinngemäß vor.
7	Bild skalieren	Eigenschaften	Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf das Bild und wählen "Eigenschaften". Auf der Registerkarte "Position" wählen Sie für den 2. Eckpunkt den Punkt A, als 3. Eckpunkt Punkt C aus. Bewegen Sie den Schieberegler t. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, bewegt sich das Auto der x-Achse entlang. Nun werden die Punkte A und B nicht mehr benötigt - sie können ausgeblendet (nicht gelöscht!) werden.
8	Führungspunkte D, E und F für das gelbe Auto festlegen	Eingabezeile	D=(2.7t² + 2.9t, 2) (Dieses Auto soll sich ja beschleunigen), E=(x(D) - 10, y(D)), F=(x(E), y(E) + 0.5)
9	Fügen Sie, wie vorhin das Bild des gelben Auto ein.		Legen Sie die Punkte D, E und F für die Eckpunkte in der richtigen Reihenfolge fest. Testen Sie die Bewegung des Autos, indem Sie den Wert von t verändern und blenden Sie die Punkte D, E und F aus.
10	Straße und Startlinie	Grafik-Ansicht	Zeichnen Sie passende Geraden als "Straße" und als Startlinie. Blenden Sie das Koordinatensystem und das Gitternetz aus.
11	Animation einschalten	Grafik-Ansicht oder Algebra-Ansicht	Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf t und wählen Sie: Animation ein. Blenden Sie den Schieberegler aus, da sie nicht mehr benötigt wird. In der linken unteren Ecke der Grafik-Ansicht erscheint beim starten der Animation ein kleines Button, womit die Autos gestartet und gestoppt werden können. Klicken Sie noch einmal mit der rechten Maustaste auf t und wählen Sie "Eigenschaften". Auf der Registerkarte "Schieberegler" können Sie u.a. die Richtung und die Geschwindigkeit der Animation einstellen.
12	Feinarbeit: Button "Zurück zum Start"	Werkzeugleiste	Klicken Sie erst auf das Werkzeug, dann auf eine geeignete stelle der Grafik-Ansicht. Geben Sie die Beschriftung an und tippen Sie in das Feld für GeoGebra-Skript: t=0. Klicken Sie auf OK und wechseln Sie mit esc in das Modus "Bewege". Speichern Sie und testen Sie Ihr Applet.