Quelltext der Seite 3 - Bezierkurven und Bernsteinpolynome

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== Bernsteinpolynome ==
===Der Erfinder: Joseph Bernstein===
[[File:Joseph Bernstein.jpg|rechts|200px|miniatur|Joseph Bernstein<br />Quelle:Wikipedia]]
[http://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Bernstein Aus Wikipedia:]<br />

''"Joseph Naumowitsch Bernstein (... * 18. April 1945 in Moskau) ist ein in Russland geborener israelischer Mathematiker, der sich mit Darstellungstheorie, algebraischer Geometrie, automorphen Funktionen und Zahlentheorie beschäftigt.<br />
Bernstein studierte an der Universität Moskau ab 1963, machte dort 1968 sein Diplom und wurde 1972 bei Israel Gelfand promoviert. 1981/82 war er Gastprofessor an der University of Maryland und von 1983 bis 1993 Professor in Harvard. Ab 1993 war er Professor an der Universität Tel Aviv."''

==Bezierkurven als Parameterkurven==
Geometrische Konstruktionen sind schwer weiterzubearbeiten. Es ist günstiger, wenn die Kurven als Funktionen zur Verfügung stehen.<br />
Es gibt zwar keine Funktion, die eine Bezierkurve beschreibt, die Koordinaten der Punkte erfüllen aber durchaus bestimmte Mathematische Gesätze. Als Grundlage brauchen wir dazu drei Bernsteinpolynome:
#B03(x) = -x³+3x²-3x+1
#B13(x) = 3x³-6x-2+3x
#B23(x) = -3x³+3x²
#B33(x) = x³
<br />
'''Konstruktion:'''
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schritt
! Was ?
! Wo?
! Wie?
|-
| 1
| Markieren Sie vier Punkte. im Grafik-Ansicht.
| Grafik-Ansicht
| 
|-
| 2
| Definieren Sie einen Schieberegler t
|
| 0 ≤ t ≤ 1, Schrittweite:0,01
|-
| 3
| Definieren Sie die Funktionen, die später die x- und y-Koordinaten vom Punkt P steuern werden. 
| Eingabezeile
| PX(t)=x(A)*B03(t)+x(B)*B13(t)+x(C)*B23(t)+x(D)*B33(t) und <br />PY(t)=y(A)*B03(t)+y(B)*B13(t)+y(C)*B23(t)+y(D)*B33(t)

|-
| 3
| Definieren Sie Punkt P
| Eingabezeile
| P=(PX(t)|PY(t)
|-
| 4
| Starten Sie die Animation von t
|
|
|-
| 5
| Zeichnen Sie die Ortslinie von P
| Eingabezeile
| Ortslinie[P,t]
|}

Sie Haben nun eine perfekte Bezierkurve erhalten. Sie können die Form der Kurve verändern, wenn Sie die Punkte A, B, C und D bewegen.<br />
P sitzt in A, wenn t = 0 und in B, wenn t = 1 ist.

==Ableitungen und Tangenten==
[[Datei:Bezier-Tangenten.png|thumb|300px|rechts]]
Parameterkurven können Koordinatenweise abgeleitet werden.
# Leiten Sie die Funktionen PX und PY mit dem Befehl Ableiteung ab.
# Definieren Sie einen Vektor  <math>\vec v</math> mit den Koordinaten (PX'(0)|PY'(0)). So haben Sie die Ableitung der Bezierkurve im Punkt A erstellt.
# Zeichnen Sie eine Gerade durch A, parallel zu  <math>\vec v</math>. Diese Gerade ist die Tangente zur Kurve durch A.
# Erstellen Sie ähnliche Weise die Tangente durch Punkt D.
Es ist gut zu erkennen, dass die Tangenten immer durch B bzw. durch C laufen.<br />

==Die dritte Dimension kommt dazu==
Sie können die oben beschriebene Konstruktion auch im dreidimensionalen Raum erstellen: Sie müssen allerdings alle Punkte von Anfang an mit drei Koordinaten anlegen.<br />
Die dritte Koordinate von P wird analog zu den ersten beiden Koordinaten definiert.




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