Kennenlernen der Möglichkeiten bei Ungleichungen und Intervallen

Aufgabenstellung

Bei dieser Aufgabe geht es um das Kennenlernen der Möglichkeiten, die Ihnen GeoGebra zu Ungleichungen und Intervallen bietet. Daher gibt es einige kleinere Aufgaben mit getrennten Anleitungen.

Sie sollen kennenlernen:

1. Wie man Gleichungen und Ungleichungen eingibt und was unterschiedliche Darstellungen bedeuten.
2. Welche Einstellungsmöglichkeiten es bei Ungleichungen und Intervallen gibt.
3. Wie man Intervalle nutzen kann, um Definitions- und Wertemengen festzulegen.

Anleitungen

Eingabe von Ungleichungen und Intervallen

Ziel: Sie sollen verschiedene Arten von Gleichungen und Ungleichungen eingeben. Dazu wird die Eingabezeile benutzt, die sich normalerweise am unteren Rand des GeoGebra-Fensters befindet. Hat man den Befehl oder den Ausdruck eingegeben, wird die Eingabe mit der  RETURN -Taste übernommen und ausgeführt. Wie bei Zeichen-Objekten, mit den Zeichen-Werkzeugen erstellt werden, erscheint meist etwas in der Grafik-Ansicht und es erfolgt ein Eintrag in der Algebra-Ansicht.

Schritt	Was?	Wo?	Wie?
1	Markieren Sie alle Punkte der <math>\mathbb{R}^2</math>-Ebene, für die gilt <math>x > -1</math>.	In der Eingabezeile	Tippen Sie in der Eingabe-Zeile x > -1 ein. Für die Eingabe des "größer als"-Zeichens brauchen Sie kein spezielles Symbol in GeoGebra nutzen. Verwenden Sie das auf der Tastatur vorhandene Symbol.
2	Markieren Sie alle Punkte der <math>\mathbb{R}^2</math>-Ebene, für die gilt <math>y \leq 3</math>.	In der Eingabezeile	Geben Sie in der Eingabe-Zeile y < = 3 ein. Das Symbol <math>\leq</math> kann in GeoGebra durch Verwendung von   <   und  =  eingegeben werden oder Sie nutzen die Symbol-Eingabe. Dazu klicken Sie die Eingabezeile an, dann auf das <math>\alpha</math>, das am Ende der Eingabezeile zu sehen ist und suchen Sie das Symbol <math>\leq</math> und klicken es an.
3	Löschen Sie die ersten beiden Ungleichungen.	Algebra-Ansicht	Klicken Sie mit der rechten Maustaste jede Ungleichung einzeln an und wählen im erscheinenden Kontext-Menü Löschen.
4	x \right | <= 1</math>.	Eingabezeile	Geben Sie in die Eingabezeile folgendes ein: -1 < = x < = 1.
5	Stellen Sie fest, welche Punkte durch den Befehl 1 < x+y < 4 dargestellt werden und betrachten Sie die Ausgabe in der Algebra-Ansicht.	Eingabezeile	Geben sie einfach 1 < x+y < 4 in die Eingabezeile ein und drücken  RETURN .
6	Verstecken Sie die letzten zwei Bereiche.	Algebra-Ansicht	Klicken Sie bei den zwei Objekten jeweils auf den gefüllten Kreis, der vor dem Eintrag zu sehen ist. Bei einem leeren Kreis sind die Objekte unsichtbar.
7	Markieren Sie alle Punkte, die auf oder oberhalb der Normalparabel liegen.	Eingabezeile	Geben Sie y >= x² ein.

Ergebnis: Sie sollten nun die Eingabe von Ungleichungen und Intervallen in GeoGebra kennen.

Die Unterscheidung zwischen <math>\leq</math> und <math>< </math> in GeoGebra geschieht in der Darstellung mit einer durchgezogenen bzw. gestrichelten Begrenzungslinie.

Im Algebra-Fenster erscheint jeweils die Eingabe und davor, mit Doppelpunkt abgetrennt, der Name der Ungleichung bzw. des Intervalls. Auch wenn in einer Ungleichung nur eine der Variablen x bzw. y angegeben wurden, so werden immer alle Punkte des <math>\mathbb{R}^2</math>, bei denen die angegebene Bedingung erfüllt ist, farbig überdeckt.

Einige Eingaben, wie die fünfte, werden zwar angenommen, dann aber im Algebra-Fenster als logische Verknüpfung von zwei einfachen Ungleichungen beschrieben.

Teilweise werden auch implizite Ungleichungen angenommen, Sie werden aber sicher etwas finden, was nicht angenommen wird. Ist dies Ihrer Meinung nach wichtig oder haben Sie einen Fehler entdeckt, wenden Sie sich bitte an das GeoGebra-Forum (bitte anmelden!), und teilen Sie den Entwicklern Ihre Wünsche oder den entdeckten Fehler mit.

Eigenschaften von Ungleichungen und Intervallen

Ziel: Sie sollen nun die wichtigsten Einstellungsmöglichkeiten bei Ungleichungen und Intervallen kennenlernen. Dazu erstellen Sie erst einmal drei Ungleichungen, wie man sie zum Beispiel beim linearen Optimieren nutzt.

Schritt	Was?	Wo?	Wie?
1	Geben Sie die Ungleichungen <math>x + y \leq 6</math>; <math>x \geq 2</math> und <math> y \geq 0 </math> ein	Eingabezeile	Geben Sie einzeln x + y < = 6 x > = 2 und y > = 0 ein und drücken Sie jeweils danach  RETURN .
2	Machen Sie den Bereich, für den alle drei Bedingungen erfüllt sind, frei, indem Sie die Darstellungs-Eigenschaft aller drei Intervalle ändern.	Eigenschaften-Dialog	Klicken Sie eine der Ungleichungen in der Algebra-Ansicht mit der rechten Maustaste an und wählen im Kontext-Menü Eigenschaften. Markieren Sie alle drei Ungleichungen, indem Sie links in der Objekt-Liste das Wort Ungleichungen anklicken. Wählen Sie rechts die Karteikarte Darstellung und machen ein Kreuzchen bei Inverse Darstellung. Schließen Sie das Eigenschaftenfenster.

Ergebnis: Mit der inversen Darstellung ist nur der Bereich frei, der die Bedingungen erfüllt. In der normalen Darstellung kann man das nicht so gut erkennen, da man ja den Bereich suchen müsste, der von allen Bereichen überdeckt ist. Das ist nicht so eindeutig, wie bei der Umkehrung.

Definitionsmengen bei Funktionen

Ziel: Lernen Sie, wie man Ungleichungen wie x > 3 oder Intervalle wie -2 < x <=5 auch für die Festlegung von Definitions- oder Wertemengen verwenden kann.

Schritt	Was?	Wo?	Wie?
1	Zeichnen Sie den Teil einer Normalparabel für <math>x</math>-Werte von <math>x = -1</math> bis <math>x = 3</math> unter Nutzung des Befehles Funktion[].	Eingabezeile	Geben Sie in die Eingabezeile f(x)=Funktion[x^2,-1,3] ein und drücken die  RETURN -Taste.
2	Erstellen Sie eine neue Funktion <math>g</math> mit dem Funktionsterm <math>x^2+1</math>, dessen Wertebereich aber auf <math>y</math>-Werte kleiner als 5 beschränkt ist. Nutzen Sie dazu den Wenn[]-Befehl.	Eingabezeile	g(x) = Wenn[x^2+1<5,x^2+1] eingeben
3	Erstellen Sie eine neue Funktion <math>h(x)=x^2-1</math>, dessen Definitionsbereich aber auf <math>x</math>-Werte zwischen -1 und 2 beschränkt ist. Nutzen Sie dazu den Wenn[]-Befehl.	Eingabezeile	h(x) = Wenn[-1<=x<=2,x^2-1]

Erklärungen: Mit Ungleichungen und Intervallen können Definitions- und Wertemengen eingeschränkt werden. Bei Verwendung des Befehles Funktion[] wird nur die Anzeige des Graphen beschränkt, was man daran erkennt, dass zum Beispiel die Ableitung wieder komplett angezeigt wird.